- •Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •Основные свойства определенного интеграла Римана: интегрируемость сужения, аддитивное свойство, линейные свойства, интегрируемость произведения.
- •Число e как сумма ряда.
- •Понятие знакочередующегося ряда. Признак Лейбница. Исследование ряда
- •Понятия абсолютно и условно сходящегося числового ряда. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
- •Основные теоремы о степенных рядах (о непрерывности суммы степенного ряда, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании степенного ряда)
- •Разложение функций в степенные ряды (определение).
- •Определения несобственных интегралов 1-го рода (с различными видами особенностей), сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы 1-го рода.
- •Определения несобственных интегралов 2-го рода (с различными видами особенностей), сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы 2-го рода.
- •Теорема о замене переменной и формула интегрирования по частям для несобственных интегралов.
- •Критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции.
- •Интегральный признак сходимости числового ряда.
- •Скалярное произведение и евклидова норма в (определения). Неравенство Коши-Буняковского.
- •53. Координатные последовательности последовательности точек в . Критерий сходимости последовательности в в терминах координатных последовательностей.
- •58. Понятие функции нескольких переменных
- •Понятие градиента и его арифметические свойства
- •4°. (Здесь предполагается, что g ¹ 0 в соответствующей точке).
- •Определение дифференциалов высших порядков. Иллюстрация определения на примере дифференциалов 1-го и 2-го порядков.
- •79. Формула Тейлора для функции нескольких переменных (включая формулировку теоремы о разложимости функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)
- •2) Если же второй дифференциал функции в точке является знакопеременной квадратичной формой, то точка не является точкой локального экстремума функции .
53. Координатные последовательности последовательности точек в . Критерий сходимости последовательности в в терминах координатных последовательностей.
Фундаментальные последовательности в . Критерий сходимости Коши
Последовательность точек пространства называется фундаментальной (или сходящейся в себе, или последовательностью Коши), если для любого существует такой номер , что
Критерий:Для того, чтобы последовательность точек пространства была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Понятие внутренней точки множества и его внутренности.. Определение и свойства открытых множеств в . Примеры открытых множеств.
Точка множества называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью.
Совокупность всех внутренних точек множества обозначается и называется внутренностью множества .
Множество называется открытым, если каждая его точка является внутренней, т.е. если =
Пример 1. Во множестве вещественных чисел , которое мы естественно отождествляем с пространством , -окрестностью точки является интервал
(здесь следует иметь в виду, что в ).
Так как любой конечный или бесконечный интервал вместе с каждой своей точкой при некотором содержит и интервал , то всякий интервал является открытым множеством□
Понятие точки сгущения множества в пространстве . Определение замкнутого множества . Критерий замкнутости в терминах предела.
Точка называется точкой сгущения или, также, предельной точкой множества , если в любой ее проколотой окрестности имеется хотя бы одна точка множества , т.е. если .
Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения.
Критерий замкнутости Для того чтобы множество было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно содержало предел любой своей сходящейся последовательности.
Связь между открытыми и замкнутыми множествами и свойства замкнутых множеств в . Примеры замкнутых множеств.
Теорема 4. Множество является открытым тогда и только тогда, когда его дополнение является замкнутым.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть множество открыто. Тогда ни одна его точка не может быть точкой сгущения множества (ибо всякая такая точка имеет окрестность целиком лежащую в и, значит, непересекающуюся с ). Таким образом, множество содержит все свои точки сгущения, т.е. является замкнутым
Достаточность. Пусть множество замкнуто. Тогда ни одна точка множества не является точкой сгущения множества . Поэтому каждая точка множества имеет целиком содержащуюся в нем свою окрестность. Следовательно, множество открыто □
58. Понятие функции нескольких переменных
Пусть . Тогда отображение (функция) называется функцией переменных, заданной на множестве , при этом множество , как и в случае произвольного отображения, называется областью определения функции .
Определение предела функции нескольких переменных в смысле Коши и его геометрическая форма.
(определение предела по Коши). Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при , или пределом функции при , или также пределом функции в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенствам: (1)
|
имеет место неравенство(2)
геом форма
|
|
Определение предела функции нескольких переменных в смысле Гейне.
(определение предела по Гейне) Пусть функция определена на множестве и – точка сгущения этого множества. Число называется пределом функции при или, также, пределом функции в точке , если для любой последовательности , последовательность сходится и
. |
|
Определение непрерывности функции нескольких переменных на языке и его геометрическая форма.
(определение непрерывности на языке « »). Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству ,
справедливо неравенство .
Определение непрерывности функции нескольких переменных на языке последовательностей.
Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к точке ( ), числовая последовательность сходится к точке , т.е. .
Теорема о непрерывности сложной функции.
Теорема 1 (о непрерывности сложной функции). Пусть функции , , определены на множестве и непрерывны в точке , а функция определена на множестве
,
и непрерывна в точке . Тогда сложная функция , ,
непрерывна в точке .
Понятия непрерывной и равномерно непрерывной функции на множестве. Понятие компактного множества в пространстве .
Функция , , называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Функция , , называется равномерно непрерывной на множестве , если такое, что
, .
Множество называется компактным или также компактом, если
оно замкнуто и ограничено.
Теоремы Кантора и Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте
Теорема кантора Всякая непрерывная на компакте функция является на нем равномерно непрерывной.
(первая теорема Вейерштрасса о непрерывных на компакте функциях).
Всякая непрерывная на компакте функция – ограничена на нем.
(вторая теорема Вейерштрасса о непрерывных на компакте функциях).
Всякая непрерывная на компакте функция достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней.
Понятия дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Непрерывность и дифференцируемость.
Пусть – внутренняя точка множества . Функция называется дифференцируемой в точке Х, если существует такая линейная функция
,
() переменных , что (здесь при
при этом линейная функция называется дифференциалом функции в точке Х и обозначается или, короче, Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Достаточно заметить, что в силу (2)
□
Понятие частной производной функции нескольких переменных.
Пусть – некоторая функция переменных и – внутренняя точка множества . Если существует предел
,то он называется частной производной функции в точке по -ой переменной.
Теорема о существовании частных производных
Теорема 2. Дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке конечные частные производные по всем переменным, , при этом
( , (2) ).и следовательно дифференциал функции имеет вид
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция дифференцируема в точке
, то имеет место равенство (1), где ,
и, следовательно, равенство (1) можно записать в виде
( при (3) В частности для любого вектора последнее равенство принимает вид:
( при ),Отсюда следует, что для любого существует конечный предел
,
который по определению 3, в то же время, равен частной производной . Поэтому равенство (3) можно записать в виде (2) □
Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных. (достаточное условие дифференцируемости). Пусть все частные производные , , функции , существуют и непрерывны в точке . Тогда функция дифференцируема в точке .
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы Лагранжа для функций одной переменной и непрерывности частных производных имеем:
где при , . Таким образом, □