Определение дифференциалов высших порядков. Иллюстрация определения на примере дифференциалов 1-го и 2-го порядков.

Определение 1. Пусть функция ( ) раз дифференцируема в точке . Тогда однородный многочлен степени от переменных называется дифференциалом -го порядка функции в точке .Дифференциал -го порядка функции в точке обозначается . Таким образом, Замечание 1. Здесь и выше в определении 1 и, следовательно, необходимо иметь в виду, что под знаком -кратной суммы в определении 1 и формуле (1) некоторые из чисел и даже все они могут быть равными друг другу.

Замечание 2. При формула (1) принимает вид: .Следовательно дифференциал первого порядка функции в точке это – просто ее дифференциал в этой точке.Замечание 3. При формула (1) имеет вид при этом здесь предполагается, что функция дважды дифференцируема в точке . Таким образом, если первый дифференциал функции представляет собой линейную функцию переменных , , то второй ее дифференциал представляет собой квадратичную форму от тех же переменных.

79. Формула Тейлора для функции нескольких переменных (включая формулировку теоремы о разложимости функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке всевозможные частные производные до порядка включительно, то ее можно представить в виде

,

Эта формула называется формулой Тейлора функции переменных, при этом функция , стоящая в правой ее части, называется остаточным членом формулы Тейлора.Замечание 1. Учитывая определение дифференциала порядка функции и то, что дифференциал любого порядка есть функция дифференциалов независимых переменных, формулу Тейлора (7) можно записать следующим образом:

Теорема 1. Пусть , т.е. пусть функция имеет в окрестности точки всевозможные частные производные до порядка включительно и все они непрерывны в этой окрестности. Тогда при любом для функции справедлива формула Тейлора (1) с остаточным членом в форме Пеано:

Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Необходимое условие локального экстремума Определение 1. Пусть функция определена на множестве . Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такое , что ,

при этом если последнее неравенство является строгим для всех указанных здесь , то точка называется точкой строго локального максимума функции .Аналогично, определяются понятия точек локального минимума и строгого локального минимума функции (для этого в (1) неравенство или, соответственно, < заменяется на неравенство или соотв. на > ). Если точка является точкой локального максимума или точкой локального минимума, то она называется также точкой локального экстремума. Аналогично вводится понятие точки строгого локального экстремума. Замечание 1. Если – внутренняя точка множества , то в определении 1, достаточно требовать, чтобы соответствующее неравенство выполнялось для всех , так как всегда может быть выбрано так, что .Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке частные производные по всем переменным. Тогда, если точка – точка локального экстремума функции , то все ее частные производные в этой точке равны нулю: ,

т.е. .Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольное и рассмотрим следующую функцию скалярного аргумента : ( ).Так как функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке частную производную по –ой переменной, то функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производную , при этом по определению частной производной по –ой переменной .

Более того, так как – точка локального экстремума функции , то, очевидно, точка – точка локального экстремума функции . Тогда по теореме Ферма , т.е. . В силу произвольности выбранного это и означает, что

Достаточное условие локального экстремума функции нескольких переменных Определение 2. Пусть функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке частные производные первого порядка по всем переменным. Тогда если , то точка называется стационарной точкой функции или, также, точкой подозрительной на экстремум. Теорема 2. Пусть – стационарная точка функции и функция дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки .Тогда 1) если второй дифференциал функции в точке является положительно определенной квадратичной формой, то точка – точка строго локального минимума функции , а если он представляет собой отрицательно определенную квадратичную форму, то точка – точка строгого локального максимума функции ;