Критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции.

Теорема 3. Пусть функция неотрицательна и . Тогда для сходимости несобственного интеграла , необходимо и остаточно, чтобы существовало такое , что . Теорема сравнения, позволяет установить только абсолютную сходимость несобственного интеграла. Следующая теорема дает достаточный признак сходимости, пригодный и в случае условной сходимости.

Признак сходимости Дирихле для несобственных интегралов.Теорема 4 (Признак сходимости Дирихле). Пусть функции и определены на полуоси , причем 1) функция непрерывна на полуоси и имеет на ней ограниченную первообразную ;2) функция – непрерывно дифференцируема и не возрастает на полуоси , а также является бесконечно малой при .Тогда несобственный интеграл (1)сходится.

Интегральный признак сходимости числового ряда.

Теорема 1. Если функция неотрицательна и не возрастает на полуоси , то для того, чтобы числовой ряд (1)

сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл

.(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу монотонности функции на полуоси она интегрируема на любом конечном отрезке , , и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле (2).

Так как функция не возрастает на полуоси , то каковы бы ни были натуральное и имеет место неравенство проинтегрировав которое по промежутку получим .

Таким образом, для любого натурального имеет место неравенство

.

Просуммировав такие неравенства от 1 до , получим

,

или, что то же самое,

, (3)

где , – частичные суммы ряда (1).

Если интеграл (2) сходится, то из неравенств (3), с учетом неотрицательности функции , следует, что последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена сверху:

и, следовательно, ряд (1) сходится.

Если же интеграл (2) расходится, то в силу неотрицательности функции , очевидно, имеем ,

а тогда из правой части неравенства (3) также следует, что . Последнее означает, что ряд (1) расходится □

Скалярное произведение и евклидова норма в (определения). Неравенство Коши-Буняковского.

Скалярным произведением векторов и называется вещественное число , которое определяется посредством следующего равенства:)(1)

,

Длиной вектора или также его евклидовой нормой называется вещественное число , определяемое равенством

Для любых векторов и имеет место неравенство Коши-Буняковского: ,

причем равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы и линейно зависимы. Тогда либо для некоторого , либо для некоторого . Очевидно, достаточно рассмотреть только один из этих случаев. Пусть, например, для некоторого . Тогда, с учетом того, что в силу 2^* и 6^*

имеем:

Пусть теперь векторы и линейно независимы. Тогда для любого . Поэтому

.Следовательно, квадратный трехчлен от , стоящий здесь справа, не имеет вещественных корней. Но тогда его дискриминант – отрицательный, т.е. . Отсюда следует, что в рассматриваемом случае неравенство (4) – строгое □

Евклидова норма и евклидово расстояние: определения и свойства.

Длиной вектора или также его евклидовой нормой называется вещественное число , определяемое равенством

Свойства евклидовой нормы:

1^о. и

(свойство положительной определенности)

2^о.

(свойство положительной однородности)

3^о.

(неравенство треугольника)

Расстоянием между точками и в пространстве или, точнее, евклидовым расстоянием между ними называется вещественное число

, которое определяется посредством равенства (5)

Свойства евклидова расстояния

1^#. и ;

2^#. ;

3^#. нерав треугол

Понятие предела последовательности в . Сходящиеся и расходящиеся последовательности в . Понятие ограниченной последовательности в .Теоремы о единственности предела и об ограниченности

сходящейся последовательности в . Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Точка называется пределом последовательности точек пространства , если для любого существует такой номер , что для всех .

Последовательность точек в пространстве называется сходящейся, если она имеет предел.

Последовательность называется ограниченной, если множество ее значений ограничено, т.е. если существует такое , что .

Теорема 3. Всякая сходящаяся последовательность точек является ограниченной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность и . Тогда, в частности, для найдется такое , что . Поэтому ясно, что все члены последовательности содержатся в замкнутом шаре с центром в точке и радиусом □

Теорема 4 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность точек пространства содержит сходящуюся подпоследовательность.( нет доказ)

Понятие - окретногсти точки в и геометрическая форма определения предела последовательности в .

Открытым шаром с центром в точке и радиусом или, также, -окрестностью точки называется множество

.

точка называется пределом последовательности , если для любого существует такое , что для всех .