2. Антиномия: “открытие — доказательство”

А. Проблема научного открытия (т. е. в конечном счете, пробле­ма формирования принципиально новых теоретических структур) выступает, если внимательно в нее вглядеться, как логическая антиномия.

Новая теория принципиально невыводима (дедуктивным пу­тем) из старой теории, ее возникновение всегда связано с возник­новением нового предмета познания, что внешне проявляется как ориентация новой теории на качественно новые результаты экспериментальных исследований. Вместе с тем новая теория принципиально невыводима (в результате индуктивного обобщения) и из новых экспериментальных фактов, она возникает в точке “логического изобретения” (изобретения новых понятий), причем новое понятие оказывается (и должно обернуться своеобразной “мутацией” старой теоре­тической системы.

В экспериментальных науках факты играют роль внешнего “облучения”, катализирующего и провоцирующего мутационные процессы во внутренней “генетической” структуре научных тео­рий и логических “кодов” [12].

Эту же антиномию возможно представить и иначе.

Новое понятие возникает в результате (и в процессе) наруше­ния старых логических канонов, априорных логических вето, но новое понятие (новое знание вообще) получает мандат логически истинного знания только в процессе доказательства, т. е. только в процессе (и в результате) сведения к старому знанию, к каким-то исходным аксиомам, — сведения, осуществленного по определен­ным правилам и алгоритмам, принципиально независимым от со­держания новых теорий. Так, понятия “электромагнитного поля”, или “относительной одновременности”, или “кванта”, или “допол­нительности” невыводимы из структуры старых теорий, хотя по­лучают санкцию на логическую истинность только за счет раскры­тия их непротиворечивости по отношению к таким наличным тео­ретическим структурам. Даже тогда, когда эти новые понятия (развившиеся в теоретические системы) осмысливаются как обоб­щения старых, более узких понятий и систем, даже тогда новые понятия нельзя вывести из старых понятий, хотя свести к старым понятиям, в определенных условиях, возможно (принцип соответ­ствия). Здесь, по сути дела, начинается расщепление единой логики “вывода-доказательства” на противоположные определения: вывода (вывести новое знание нельзя, новое понятие изобретается, “мутирует”) и доказательства (доказать новое знание должно и можно сведением его к знанию старому). Но такая ситуация означает логическую катастрофу. Вывод, несимметричный доказательству, и доказательство, несимметричное выводу, теряют свой необходимый, логически непротиворечивый характер.

Этот второй аспект антиномии открытия особенно отчетлив и резок для математических наук. Именно здесь, где доказательная и выводная сила теории наиболее развиты, ситуация предельно противоречива. Новое понятие (“функция”, “представление”, “группа”, “множество”) возникает внутри собственно теоретиче­ского движения; на новые факты часто нельзя сослаться вообще, катализатором интуиции явно служит противоречие в недрах ста­рой теории и вместе с тем новое понятие невыводимо из старой теории, возникает вне “законного” теоретического движения, в на­рушение “законов логики” [13]. Здесь становится особенно ясным (если хочешь видеть), что само логическое развертывание знания выводит... за “пределы логики” (впрочем, может быть, сами “пре­делы” следует понимать иначе?!).

Сформулируем еще раз. Новое понятие возникает только вместе с новым предметом познания, а этот новый предмет познания невыводим из старого знания о старом предмете.

Предмет потому и предмет (Gegenstand), что он “пред-поло­жен”, “противо-стоит” чисто теоретическому движению, вот и ищешь его, по необходимости, в новых “фактах” или (и) в ин­туитивных прозрениях. Все так. Но, с другой стороны, “теорию нельзя вывести индуктивным обобщением фактов”, а следователь­но... И сказка начинается сызнова.

Б. Важнейшая проблема логики доказательства не менее антиномична (как показало само развитие математической логики XX в.³) [14]. Дело в том, что исходные (для данной системы) аксиомы выводимы только в другой теоретической системе. Тем самым независимые и квазизамкнутые системы оказываются под­системами какой-то метасистемы, носящей — в конечном счете — принципиально открытый характер. Тут и возникает антиномия. Закрытость системы — условие ее доказательной силы. Коррект­ный анализ доказательства разламывает любую закрытую систе­му. бесконечность выведения (направленная в будущее и потому не пугающая логиков) оборачивается бесконечностью сведения, движение вперед зачеркивается бесконечным попятным движени­ем и принципиально оказывается невозможным, теряет статут до­казательства.

В конце концов начинается прорыв в эмпирию физиологиче­ского и психологического процессов или же дело заканчивается раздраженной ссылкой на предметную, конвенциальную, или интуитивную очевидность.

Ho в большинстве случаев эта антиномия обходится стороной, на путях беспринципного оппортунизма (“для данных технических целей достаточно рассматривать данную дедуктив­ную систему как закрытую”), но подобные проявления умствен­ной лени следует решительно игнорировать.

Бесконечное развинчивание научной истины (во имя того, что­бы добиться логически бесспорных исходных пунктов) приводит в первородный туман эмпирических случайностей или утыкается в знакомую уже нам проблему — проблему конструирования исходных понятий, каким-то (?) образом тождественных с... исходными предметами познания.

Или иначе: возникает проблема логической (и практической) истинности научного изобретения!

Проблема доказательства упирается в проблему открытия, в проблему формирования нового, и вместе с тем логически достоверного знания (без “кивков” на старые истины). Вспомните первый и четвертый парадоксы интуиции. Логика доказательства хранит свои тайны в логике творчества! Логика творчества не имеет статута логики вне контекста логики доказательства. Круг замкнулся. Обе проблемы могут быть разрешены только одним ударом, единой идеей.

Две антиномии свелись к одной-единственной — к антиномии “творчества-доказательства”, мучительно актуальной для совре­менной логики, ставящей под вопрос само существование логики как науки⁴.

Однако, если вдуматься, ситуация не столь трагична, как она выглядит “на близком расстоянии”. В исторической перспективе безвыходная антиномия осмысливается как позитивная, эвристическая проблема. Нужен только правильный контекст. Здесь необходимо сделать небольшое отступление. До сих пор (в разделах 1—2) мы исходили из современной логической ситуации во всей ее антиномичности и безвыходности.

Мы двигались вместе с наукой в ее первичной логической са­морефлексии (современная математическая логика именно такой первичной саморефлексией науки и является). Важно было под­черкнуть, что в настоящее время антиномия “творчество—доказа­тельство” становится насущной проблемой самосознания, а тем самым дальнейшего развития точных наук. Проблема встала сейчас в самом актуальнеишем смысле: “что делать?”

Но теперь пора вспомнить, что в XVII—XIX вв. эта “новая” проблема стояла столь же остро (Кант, Гегель, Тренделенбург), хотя и в ином плане — не столь актуальном для собственного развития науки, но зато гораздо более принципиальном в смысле общей теории познания. И ― глубже ― философских начал мышления. Проблема стояла (не стояла, а развивалась) как проблема высшей саморефлексии науки, — рефлексии философской. Тогда новая наука только что формировалась, и были ясны (ясны в философском осмыслении) назревающие в ней антиномии. Антиномии эти улавливались тогда только в контексте познавательной деятельности в целом, точнее, только в контексте новой формы Праксиса.

Это “только” означает, скорее, не сужение, а углубление проблемы, — историей навязывался тот единственный контекст, в котором проблема могла быть решена.

Впрочем, философские страхи оказались преждевременными. наука продолжала чудесно работать и развиваться, даже и не за­мечая пресловутой, столь мучавшей Канта, антиномии “синтети­ческих априорных суждений”.

Лишь к середине XX в. выяснилось, что глаза у страха не только велики, но и дальнозорки. Теперь уже не “на входе”, а “на выходе”, в порядке самопроверки своего логического “вооруже­ния”, точные науки пришли к необходимости как-то понять и раз­решить антиномию “изобретения—доказательства”.

Логический автоматизм стал отказывать уже прямо в работе “под руками”. Конструктивная роль понятий прямо противопо­ставлялась их "отражательной" роли (конструктивизм в математи­ке, проблема “объект — прибор”, соотношение неопределенностей). Коренные, самоочевидные категории обнаруживали свою творче­скую функцию “схем деятельности”; измени схему, получишь другую теоретическую структуру; вместе с тем, эти “схемы”, в прямое опровержение кантовской концепции, теряли свой апри­орный характер (пересмотр понятия времени в специальной тео­рии относительности).

Стал на глазах перестраиваться и сразу же обнажился катего­риальный каркас мышления. Стала ясна творческая роль этого логического “скелета”, — там, где мнились кости, объявилась живая плоть реальное мысли. “Скелет” оказался не скелетом, а расту­щим древом понимания. Особое значение здесь имеет развитие категорий причинно-следственной связи и резкое разбухание эври­стической силы модальных категорий (вероятность — виртуальность — потенциальность — необходимость).

Наконец, историзм все более становится высшим логическим принципом (в особенности в современной математике). В таких реальных условиях наука уже не может удовлетворяться саморефлектированием первого порядка, формальной логикой и само­отчетами крупнейших творцов науки, и должна обратиться к пре­рванной линии философского самосознания. Линия эта (Декарт — Спиноза — Кант — Гегель — Фейербах — Маркс) прервалась в пе­риод научной самоудовлетворенности, а сейчас ее продолжение — насущнейшая потребность самой науки. Впрочем, внутринаучная потребность лишь момент более широкой и глубоко куультурно-философксой интенции.

Поэтому нам приходится вернуться к проблеме “доказательство — изобретение” в ином, историко-философском разрезе.