- •Инсарова Наталия Ивановна Лещенко Вячеслав Григорьевич Элементы теории
- •220050, Г.Минск, ул. Ленинградская, 6
- •Введение
- •Глава I. Случайные события. Вероятность
- •Закономерность и случайность, случайная изменчивость в точных науках, в биологии и медицине
- •1.3. Виды случайных событий. Основные теоремы теории вероятностей
- •1.3.1. Несовместные случайные события. Теорема сложения вероятностей
- •1.3.2. Независимые случайные события. Теорема умножения вероятностей
- •1.3.3. Зависимые события. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий
- •1.4. Формула Байеса
- •1.5. О случайных событиях с вероятностями близкими к 0 или к 1
- •Глава II. Случайные величины
- •2.1. Случайные величины, их виды
- •2.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •2.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности
- •2.4. Основные числовые характеристики случайных величин
- •2.5. Нормальный закон распределения случайных величин
- •Глава III Элементы математической статистики
- •3.2. Статистическое распределение выборки
- •3.3. Графическое представление статистических распределений выборок
- •3.4. Методы описательной статистики
- •3.6. Понятие нормы для медицинских показателей
- •В теории ошибок величину
- •3.8. Основы корреляционного анализа
- •Объем выборки – n. Каждой паре значений (хi, уi) на плоскости хОу соответствует одна точка. Всего будет n точек.
В теории ошибок величину
S = (38)
называют средней квадратичной ошибкой прямо измеряемой величины х, величину х (см. (36)) – её абсолютной ошибкой, а величину = 100 % – относительной ошибкой, оценивающей точность измерений.
При косвенных измерениях искомую величину Z вычисляют по некоторой формуле
Z = f(x, y),
где x и y – прямо измеряемые величины.
Число значений x и y, полученных при измерении каждого из них, равно n:
x1, х2, х3, …., хn ;
у1, у2, у3, … , уn.
Теперь можно найти их средние арифметические значения:
= , = (39)
и средние квадратичные ошибки:
Sx = ; Sу = , (40)
Среднее арифметическое значение косвенно измеряемой величины вычисляют по формуле
= f( ). (41)
Истинное значение Z – Zист. лежит в доверительном интервале:
– Z < Zист. < + Z или Zист.= ± Z. (3.7.5)
Полуширина данного интервала для нормально распределенной величины Z рассчитывается по формуле:
Z = t, n . (43)
В (43) средняя квадратичная ошибка Sz косвенно измеряемой величины, равна:
= , (44)
где =Zx´ и =Zy´ – частные производные величины Z=f(x, y), соответственно, по x и по у, вычисляемые при их средних значениях, Sx и Sу – средние квадртичные ошибки величин х и у, значения которых получаются по формулам (40).
Окончательный результат обычно записывается в виде: Zист. = Z, с указанием выбранного значения . Приводится так же относительная ошибка косвенно измеряемой величины:
= 100 %.
Пример. Рассчитаем случайную ошибку при косвенном измерении вязкости жидкости:
= 0 ,
где , , t – вязкость, плотность и время истечения исследуемой жидкости из капилляра вискозиметра; 0, 0, t0 – соответственно вязкость, плотность и время истечения эталонной жидкости (воды).
Величины 0, 0 и считаем точно известными, t и t0 измеряем секундомером, вязкость исследуемой жидкости – косвенно измеряемая величина.
1. Пять измерений времени истечения исследуемой жидкости и воды дали следующие результаты:
для исследуемой жидкости t= 79, 2с;80,4с;78,0с; 83,6с; 80,2 с;
для воды t0 = 51,0с; 48,4с; 50,6с; 47,4с; 44,2с.
2. Найдем по (39) средние арифметические значения t и t0:
= = 80,28 с,
= = 48,32 с.
Определим по (41) среднее арифметическое значение вязкости исследуемой жидкости при: = 790 , 0 = 998,2 , 0 = 1,0 10-3 Па с:
= 0 ; = 1,0 10-3 = 1,31 10-3 Па с = 1,31 мПа с.
3.Рассчитаем среднюю квадратичную ошибку вязкости по (44):
S = .
Для этого по (40) определим средние квадратичные ошибки времени истечения исследуемой жидкости St и воды :
St = =2,09 с
= = 2,75 с.
Найдем частные производные при t = и t0 = 0:
= = = 16,38 10-6 Па ,
= - = – = -27,21 10-6 Па.
Тогда S = = 82,2 10-6 Па с.
4. Определим полуширину доверительного интервала или абсолютную ошибку вязкости по (43). Для этого, приняв доверительную вероятность = 0,95, и, зная число измерений непосредственно определяемых величин (n = 5), найдем коэффициент Стьюдента, [cм. табл., напр. в (4, 9)], t, n = 2,78, тогда:
= 2,78 = 0,1 10-3 Па с = 0,1 мПа с.
Следовательно, с доверительной вероятностью = 0,95 = 95% истинное значение вязкости исследуемой жидкости лежит в интервале
η = = (1,31 0,1) 10-3 Па с = (1,31 0,1) мПа с.
Относительная ошибка равна
= 100 % = 7,6 %