§ 2. Механические свойства упругих сред

2.1. Физические характеристики воздействия механических нагрузок на вещество и механические свойства деформируемых тел

Механические свойства тел проявляются в их реакции на действие внешних сил (нагрузок). Изменения формы и/или размеров образца под действием внешних сил называют деформацией.

Различают упругие и пластические деформации. Деформация называется упругой, если после снятия нагрузки тело полностью восстанавливает свою форму и размеры, и пластичной (неупругой), если размеры тела восстанавливаются не полностью, т.е. имеет место остаточная деформация. Соответственно упругость определяют как способность деформируемого тела восстанавливать исходные размеры и форму после снятия нагрузки; пластичность – как способность сохранять остаточные деформации после снятия нагрузки.

На рис. 6 показаны основные виды деформации твердых тел; направление внешних сил (нагрузок) указано стрелками; пунктир соответствует деформированному образцу.

Разнообразные виды деформации твëрдого тела могут быть сведены к двум основным: к деформации растяжения (или сжатия) и деформации сдвига.

Определим основные величины, характеризующие поведение деформируемого тела.

Количественной мерой деформации является абсолютная, либо относительная деформация.

Например, если при одноосном растяжении тела его длина возросла с l₀ до l, то величина  l = l – l₀ (м) называется абсолютной деформацией (удлинением) и измеряется в единицах длины. Относительная деформация – величина безразмерная, она определяется как отношение абсолютной деформации к первоначальной длине образца и в этом случае обозначается ε:

, в процентах . (1)

При деформации в образце возникают упругие силы F_упр, препятствующие внешней нагрузке и дальнейшей его деформации.

Еще в XVII веке Гук, исследуя деформации тел при одноосном растяжении, установил закон, согласно которому в пределах упругой деформации величина упругой силы F_упр, возникающей в образце, прямо пропорциональна его абсолютной деформации

F_упр = k   l (2)

Коэффициент пропорциональности k зависит как от упругих свойств деформируемого образца, так и от его геометрических размеров, измеряется в H/м и называется жесткостью тела (образца).

Под действием внешней силы F_вн тело деформируется на величину  l, при которой возникающие в нем упругие силы, направленные против F_вн, уравновешивают действие внешней силы: F_упр = F_вн = F (в векторном виде ).

Наличие в деформируемом образце упругих сил F_упр, распределенных по всему объему, обуславливает возникновение в этом образце механических напряжений , зависящих от площади S поперечного (т.е. перпендикулярного действующей на образец силе) сечения образца:

. (2а)

Теперь закон Гука можно выразить в другой форме: при упругих деформациях механическое напряжение , возникающее в образце, прямо пропорционально его относительной деформации  :

 = Е   (2б)

Коэффициент пропорциональности Е зависит только от упругих свойств материала, из которого изготовлен образец, и называется модулем упругости (модулем Юнга). В СИ он измеряется в Паскалях (1Па = 1Н/м²), не зависит от геометрических размеров образца и определяет способность материала сопротивляться действию внешних сил.

Сопоставляя формулы (2) и (2б), получим выражение, связывающее коэффициент жесткости k образца с его размерами (l₀ и S) и модулем упругости Е:

(3)

Видим, что жесткость образца k прямо пропорциональна модулю упругости Е, площади поперечного сечения образца S и обратно пропорциональна его длине l₀, т.е. чем короче и толще образец, тем он жëстче.

Однако образцы сложной формы часто имеют не одинаковые поперечные сечения вдоль направления действия силы, и тогда пользуются понятием жесткости данного сечения, которую обозначают D:

D = E  S, (4)

О на измеряется в единицах силы (Н), в отличие от жесткости образца k, которая измеряется в Н/м.¹

В целом зависимость между механическим напряжением в образце и его относительной деформацией достаточно сложная, зависит от свойств материала и не всегда подчиняется закону Гука (2б).

На рис. 7 представлена диаграмма растяжения – зависимость механического напряжения  в образце от его относительной деформации . На участке ОА зависимость между  и  прямолинейная, что соответствует закону Гука (2б). При этом угол наклона  определяется модулем упругости Е материала образца: tg  = E.

На участке ОАВ деформация является упругой, но зависимость между  и  на участке АВ становится нелинейной, поэтому точке А соответствует предел пропорциональности _проп., а точке В – предел упругости _упр., поскольку при  > _упр. деформация тела становится уже неупругой (пластичной). Закон Гука (2б) выполняется только на линейном участке ОА, т.е. при  ≤ _проп .

На участке СК относительное удлинение  образца растëт при почти постоянном механическом напряжении, поэтому его называют участком текучести, а напряжение σ_т, с которого начинается этот участок, – пределом текучести.

На участке КД образец опять оказывает сопротивление деформации (т.е.  увеличивается с увеличением ) и точке Д соответствует предел прочности _прочн – это величина механического напряжения в образце, после которого он начинает необратимо разрушаться, так что на участке ДЕ относительная деформация растет даже при снижении механического напряжения.

Еще одной важной характеристикой деформируемого тела является коэффициент Пуассона , который связывает относительную продольную  и поперечную ₁ деформации образца. Эти деформации всегда имеют разные знаки. Например, при растяжении образца  > 0, а ₁ < 0, так как d < 0 (Рис.8), при сжатии – наоборот:  < 0, ₁ > 0, а коэффициент Пуассона μ всегда положителен.

Коэффициент Пуассона зависит только от свойств материала, из которого изготовлен образец, и определяет относительное изменение его объема V при деформации:

(6)

Если коэффициент Пуассона  = 0,5, то V = 0, т.е. вещество несжимаемо.

Обратимся теперь к деформации сдвига (рис. 6д), которая возникает при действии на тело параллельных друг другу, но противоположно направленных касательных сил. Количественной мерой этой деформации является угол сдвига . По аналогии с законом Гука (2а), касательное (тангенциальное) механическое напряжение , действующее в образце, прямо пропорционально углу сдвига  :

 = G   , (7)

Модуль сдвига G зависит только от материала образца и связан с модулем упругости Е этого материала соотношением:

, (8)

где  – коэффициент Пуассона, определенный ранее.

Важнейшее свойство деформируемого тела – прочность – определяет его способность сопротивляться разрушению при действии внешних сил. Для характеристики прочности тела используют определëнный ранее предел прочности _прочн материала (величина которого зависит от вида деформации), либо указывают разрушающее напряжение – отношение величины разрушающей нагрузки к площади поперечного сечения образца в месте разрушения.

Твëрдость характеризует сопротивление материала проникновению в него более твердого тела (напр., при вдавливании). Количественно твëрдость определяется как отношение нагрузки F, действующей на вдавливаемое тело (индентор), к площади S поверхности отпечатка, образовавшегося в материале, и измеряется в СИ в H/м². Методы измерения твëрдости отличаются формой и материалом вдавливаемого тела (индентора). Например, при определении твердости по методу Бринелля в образец вдавливается стальной шарик, а в методе Виккерса – алмазная пирамидка квадратного сечения и т.д. Обозначения твëрдости: Н_B (или НВ) – твердость по Бринеллю, Н_V (или HV) – твердость по Виккерсу и т.д.

На твëрдые тела обычно действуют сосредоточенные в точке или распределенные по определëнной поверхности силы (нагрузки). Различают также статические и динамические нагрузки. Первые длительно нагружают тело и с течением времени не изменяют своей величины, а вторые быстро изменяются во времени по величине и даже по знаку. Примерами динамических нагрузок являются ударные и повторно-переменные (циклические) нагрузки.