3.6. Ранг прямоугольной матрицы

Определитель можно вычислить лишь для квадратной матрицы. Но, выбрав k строк и столько же столбцов прямоугольной матрицы A_mn, можно об-разовать определитель порядка k из элементов матрицы A_mn (k ≤ min(m,n)²⁸), стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов. Такой определитель называется минором порядка k матрицы A и обозначается M_k. Так, например, можно образовать минор второго порядка матрицы A₄₅ выбрав вторую и четвертую строки и первый и пятый столбец

²⁹.

Рангом матрицы A (обозначается rg(A)) называется максимальный порядок ненулевых миноров матрицы. То есть, матрица имеет ранг k, если у нее есть (хотя бы один) не равный нулю минор порядка k, а любой минор порядка k + 1 равен нулю³⁰.

Всякий ненулевой минор порядка rg(A) (т. е. максимального для данной матрицы порядка ненулевых миноров) называется базисным минором, столбцы и строки матрицы A, из которых он образован, называются базисными.

Теорема о ранге. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк/столбцов. Базисные строки/столбцы линейно независимы, и всякая другая строка/столбец представляется в виде линейной комбинации базисных. ▄

В самом деле, по определению ранг равен размерности базисного минора. Но базисные строки/столбцы линейно независимы, т. к. полностью или частично входят в ненулевой определитель – базисный минор. С другой стороны, всякая другая строка/столбец представляется в виде линейной комбинации базисных (иначе ранг базисного минора можно было бы увеличить, присоединив независимую строку/столбец).

4. Линейные операторы

Пусть X_n и Y_m – линейные пространства. Отображение A называется линейным оператором из X_n в Y_m, если оно сохраняет линейные отношения, т. е. образ линейной комбинации есть такая же (т. е. с теми же коэффициентами) линейная комбинация образов. Точнее:  x₁,x₂  X_n, ₁, ₂ R:

.³¹

Отметим, что в случае линейных операторов обычно пишут Ax, а не A(x), и говорят «результат действия оператора A на элемент x», а не «значение A от x», хотя и функциональная терминология иногда употребляется³². Теория линейных операторов есть теория самых простых и, одновременно, самых важных функций в линейных пространствах.

В частном случае пространства X_n и Y_m могут и совпадать, тогда говорят, что линейный оператор отображает X_n «в себя».

Линейный оператор, отображающий линейное пространство X на вещественную прямую R, называется линейным функционалом на X.

Совокупность образов всех элементов пространства³³ X_n образует подпространство в Y_m, это подпространство называется образом оператора A и обозначается ImA или Im_A, образ любого подпространства Z_m X_n также является подпространством и обозначается Im_A(Z_m).

Размерность образа Im_A называется рангом оператора и обозначается rg(A): rg(A) = dim Im_A.

Очевидно, A(0_X) = 0_Y – образ нуль-вектора при линейном отображении всегда нуль-вектор; индексы внизу указывают на тот факт, что это, вообще говоря, нуль-векторы из разных пространств.

Прообраз 0_Y при линейном отображении всегда подпространство, это подпространство называется ядром оператора и обозначается KerA или Ker_A; более подробно: x Ker A  Ax = 0_Y (вектор x принадлежит ядру оператора A тогда и только тогда, когда оператор A переводит этот вектор в 0_Y). Размерность ядра называется дефектом оператора и обозначается def(A): def(A) = dim Ker A.

Пусть - базис в X_n, а {f₁,f₂,…f_n} ­– образы базисных векторов, тогда система {f₁,f₂,…f_n} полна в Y_m.

Теорема 6. Пусть линейное отображение. Тогда:

rg(A) + def(A) = n  dim Im_A + dim Ker_A = dim X (5) ³⁴. ▄

Отметим, что ядро и образ оператора (Ker_A и Im_A) лежат, вообще говоря, в разных пространствах – ядро в пространстве-прообразе X_n, а образ в пространстве-образе Y_m.

Равенство def(A) = 0 означает, что ядро A нульмерно и, следовательно, содержит единственный элемент – нуль-вектор, такой оператор называется невырожденным; если def(A) > 0, оператор называется вырожденным.

Линейный оператор , отображающий пространство большей размерности в пространство меньшей размерности (n > m) всегда вырожденный, и def(A)  n – m (следует из (5)).

Линейный функционал всегда вырожден, если прообраз имеет размерность больше единицы (если n > 1), причем размерность ядра линейного функционала равна n – 1³⁵.