- •Принятые обозначения
- •1. Множества
- •1.1. Операции над множествами
- •1.2. Отображения
- •2. Линейные пространства
- •2.1. Примеры линейных пространств
- •2.2 Размерность, базис, координаты
- •2.2.1 Линейная комбинация и разложение по набору
- •2.2.2 Линейная зависимость
- •2.2.3. Некоторые замечания
- •2.2.4. Размерность и базис
- •2.3. Примеры
- •2.4. Изоморфизм линейных пространств
- •2.5. Подпространства
- •2.6. Примеры подпространств
- •3. Матрицы и определители
- •3.1. Действия над матрицами
- •3.2. Определители
- •3.3. Свойства определителей
- •3.4. Примеры
- •3.5. Обратная матрица
- •3.6. Ранг прямоугольной матрицы
- •4. Линейные операторы
- •4.1. Действия над операторами
- •4.2. Примеры линейных операторов
- •4.3. Линейные уравнения
- •4.4. Матрица линейного оператора
- •4.5. Примеры
- •4.6. Переход к новому базису
- •4.7. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
- •5. Системы линейных уравнений
- •5.1. Случай квадратной матрицы (система порядка n n)
- •5.1.1. Метод обратной матрицы
- •5.1.2. Правило крамера
- •5.1.3. Пример
- •5.2. Метод гаусса. Случай невырожденной квадратной матрицы
- •5.2.1. Прямой ход метода гаусса
- •5.2.2. Обратный ход
- •5.3. Случай прямоугольной матрицы (системы порядка m n)
- •5.3.1. Прямой ход
- •5.3.2. Обратный ход
- •5.4. Пример решения неопределенной системы
- •5.5. Определение ранга матрицы
- •5.6. Нахождение собственных векторов
- •6. Евклидовы пространства и элементы аналитической геометрии
- •6.1. Базисы в евклидовом пространстве
- •6.2. Точки в евклидовом пространстве
- •6.2.1. Сферы и шары
- •6.2.2. Замечание о размерностях
- •6.3. Плоскости в пространстве
- •6.3.1. Неединственность выбора параметров. Каноническая форма уравнения плоскости
- •6.3.2. Геометрический смысл параметров уравнения плоскости
- •6.3.3. Плоскости и линейные функционалы75
- •6.3.4. Сводка формул: плоскость
- •6.4. Прямые в пространстве
- •6.4.1. Геометрический смысл параметров уравнения прямой
- •6.4.2. Прямая, проходящая через две заданные точки
- •6.4.3. Сводка формул: прямая в пространстве
- •6.5. Прямые на плоскости
- •6.6. Векторное и смешанное произведение. Площади и объемы
- •6.6.1. Смешанное произведение и вычисление объемов
- •6.7. Квадратичные формы
- •6.8. Задачи и решения
- •6.8.1. Плоскости и прямые
- •6.8.2. Векторы, длины, объемы
- •6.8.2. Квадратичные формы
МЕЖдуНАРОДНыЙ СОЛОМОНоВ УНиВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
ДЛЯ СТУДЕНТоВ
экономического факультета
КИеВ • 2004
Принятые обозначения
$ – существует;
" – все, всякий, любой, для всех, для любого;
L, M, N – множества, линейные пространства; Lk (Xm,Yn) линейные пространства размерности k (m,n);
R – множество вещественных чисел;
Î – из, элемент, содержится;
' – содержит;
: – такой, что;
Þ – влечёт, следует;
Û
▄
– завершение формулировки, доказательства или замечания;
{ } – совокупность, набор, система;
– вещественные числа;
a, b, c…x, y – векторы, элементы линейного пространства;
A, B, C – операторы, A, B, C – матрицы;
– сумма по индексу i от 1 до n;
1. Множества
Множество, элемент, принадлежит – первичные неопределяемые понятия. Множеством называют всякую совокупность (набор) объектов, выделенных любым образом. Множества состоят из элементов. В частности, элементами множеств могут быть другие множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .
Подмножество – множество M называется подмножеством множества K (обозначается M K), если всякий элемент M является одновременно элементом K: (M K) (xM xK). Как видно из определения, каждое множество является своим подмножеством. Кроме того, полагается по определению, что пустое множество является подмножеством любого множества. Таким образом, всякое множество имеет два тривиальных подмножества: само множество и пустое множество; все прочие подмножества называются нетривиальными. Отметим, что (M K) & (K M) (M=K) т.е. взаимная принадлежность означает совпадение множеств.
1.1. Операции над множествами
Над множествами определены две основные операции – объединение и пересечение.
Объединением множеств M и N называется множество K = M N, содержащие все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств M и N, и только такие элементы:
х M N
Пересечением множеств M и N называется множество K = M N, содержащие все элементы, которые принадлежат одновременно обоим множествам M и N, и только такие элементы:
х M N
Операции объединения и пересечения коммутативны (переместительный закон) и ассоциативны (сочетательный закон), в силу последнего они определены не только для двух, но и для любого числа множеств:
;
.
Имеет место и дистрибутивность (распределительный закон)
.
В силу сходства свойств операций, объединение называют также сложением множеств, а пересечение – умножением множеств1.
Операции объединения и пересечения очевидным образом связаны с логическими операциями. А именно, множество истинности для операции «{» (логическое «и», например, «четный и положительный») образуется как пересечение множеств, для элементов которых каждое из условий, объединенных символом «{», справедливо в отдельности. Соответственно, множество истинности для системы условий, связанных символом « » (логическое «или»), образуется как объединение соответствующих множеств, на которых справедливы отдельные условия, входящие в систему2.