6.8. Задачи и решения

6.8.1. Плоскости и прямые

1. Через точку (6; 9; – 2) провести плоскость, параллельную плоскости

11x – 2y + 3z = 0. ▄

Общее уравнение плоскости имеет вид

A(x – x₀) + B(y – y₀) +C(z – z₀) = 0,

где (x₀,y₀,z₀) – координаты точки на плоскости, а (A,B,C) – координаты вектора нормали к плоскости. Исходя из условия задачи, можем в качестве (x₀,y₀,z₀) использовать (6; 9; – 2). Далее заметим, что у двух параллельных плоскостей векторы нормалей также параллельны, в частности, могут и совпадать. Следовательно, плоскость: 11(x – 6) – 2(y – 9) + 3(z + 2) = 0 удовлет-воряет всем условиям задачи.

2. Через точку (5; – 1; – 1) провести прямую, перпендикулярную плоскости 8x + 2y + 4z – 11 = 0. ▄

Общий вид канонического уравнения прямой:

,

где (x₀,y₀,z₀) – некоторая (базовая) точка, через которую проходит заданная прямая, а = (m; n; p) – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор). Поскольку одна точка нам задана, то можем ее принять за базовую, тогда уравнение искомой прямой примет вид

.

Таким образом, нам осталось определить координаты направляющего вектора прямой. Так как по условию прямая должна быть перпендикулярна плоскости 8x + 2y + 4z – 11 = 0, то она сама и ее направляющий вектор должны быть параллельны нормали к этой плоскости (8; 2; 4). Поскольку длина направляющего вектора несущественна, в качестве такого вектора можно взять вектор нормали к плоскости. Окончательно получим уравнение искомой прямой

.

3. Через точку (7; 0; – 3) провести плоскость, перпендикулярную к прямой

. ▄

Общее уравнение плоскости имеет вид:

A(x – x₀) + B(y – y₀) +C(z – z₀) = 0,

где (x₀,y₀,z₀) – координаты точки на плоскости, а (A,B,C) – координаты вектора нормали к плоскости. Исходя из задачи, можем в качестве координат точки на плоскости (x₀,y₀,z₀) использовать заданные координаты (7; 0; – 3). Тогда уравнение плоскости приобретет вид:

А(x – 7) + В(y – 0) + С(z + 3) = 0.

Далее, заметим, что поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны, вектор нормали к искомой плоскости параллелен данной прямой. Следовательно, нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой также должны быть параллельны, в частности, могут и совпадать. Чтобы определить координаты направляющего вектора необходимо привести уравнение прямой к каноническому виду, для чего следует в первом отношении (левой части уравнения прямой) числитель и знаменатель разделить на коэффициент при переменной х. Получим уравнение⁸⁶

.

Следовательно, вектор (– 2; 0; 2) – направляющий вектор исходной прямой – можно использовать в качестве нормали к плоскости. Таким образом, окончательно получим

– 2(x – 7) + 2(z + 2) = 0.

4. Через точку (– 2; 5; 3) провести прямую, параллельную прямой

. ▄

Прежде всего, приведем уравнение данной прямой к каноническому виду

,

где (x₀,y₀,z₀) – некоторая (базовая) точка, через которую проходит заданная прямая, а = (m; n; p) – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор). Для этого поделим числитель и знаменатель первого отношения на коэффициент при x, а второго отношения на коэффициент при y. Получим

.

Поскольку одна точка на искомой прямой нам задана, то можем ее принять за базовую. А так как искомая прямая параллельна данной, то и их направляющие векторы параллельны, в частности, могут и совпадать. Таким образом, получим уравнение искомой прямой

.

5. На плоскости через точку (0; – 3) провести прямую, параллельную прямой

▄

Поскольку направляющий вектор искомой прямой такой же, как у заданной прямой, и базовая точка дана, можем сразу же написать уравнение искомой прямой – оно получится в той же форме, что и уравнение заданной прямой⁸⁷

.

6. На плоскости через точку (0; –3) провести прямую, перпендикулярную прямой

. ▄

Так как требуется найти уравнение прямой перпендикулярной к данной, то целесообразно искать его в альтернативной форме: если исходная прямая записана через направляющий вектор (как прямая в пространстве), то уравнение искомой прямой целесообразно искать через нормаль (как плоскость в пространстве). Так как прямые перпендикулярны, то нормаль к искомой прямой параллельна направляющему вектору заданной прямой, в частности, эти векторы можно считать равными. Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид: 5x + 4(y + 3) = 0