Вопросы для повторения

1. Что называется высказыванием?

2. Что такое предикаты?

3. Что такое отрицание высказывания А?

4.  Что такое конъюнкция высказываний А и В?

5. Что такое дизъюнкция высказываний А и В?

6. Что такое импликация высказываний А и В?

7. Что такое эквивалентность высказываний А и В?

8. Что называется таблицей истинности логических операций?

3.1.1. Определения и свойства логических операций. Сложные высказывания

3.1. Представить логическими формулами следующие высказывания:

1. "Сегодня понедельник или вторник".

2. "Идет дождь или снег".

3. "Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые".

4. "Что в лоб, что по лбу".

Решение

1. Составное (сложное) высказывание "Сегодня понедельник или вторник" состоит из двух простых:

А – "Сегодня понедельник";

В – "Сегодня вторник".

Высказывания А, В соединены связкой "или" очевидно в разделительном смысле, т.е. – . Таким образом, данное высказывание представимо логической формулой А В.

Примечание. Внешние скобки в логической формуле принято опускать.

2. Высказывание "Идет дождь или снег" также состоит из двух простых, соединенных связкой "или":

А – "Идет дождь";

В – "Идет снег".

Но в отличие от предыдущего высказывания связка "или" использована здесь не в разделительном смысле, поэтому -  и логическая формула имеет вид: А  В.

2. Сложное высказывание "Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые" включает два простых высказывания:

А – "Идет дождь";

В – "Крыши мокрые".

В первом предложении "Если идет дождь, то крыши мокрые" высказывания А, В соединены связкой "если…, то…": А  В.

Во втором "Дождя нет, а крыши мокрые" союз "а" здесь имеет смысл связки "и" (&), и кроме того высказывание А следует взять с отрицанием (А): А & В.

Остается объединить представленные выше два высказывания в одно связкой &: (А  В) & (ùА & В).

2. Высказывание "Что в лоб, что по лбу", если обозначить:

А – "В лоб";

В – "По лбу",

представимо логической формулой А  В.

3.2. Докажите, пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, что высказывание – логически истинно.

Решение

Этому высказыванию соответствует множество , отвечающая ему диаграмма изображена на рис. 3.1.

Рис. 1.2. Диаграммы Венна для соотношения

3.3. Сформулировать отрицания высказываний следующих предложений:

А: "Курсант Павлов выполнил норматив".

В: "Диагонали прямоугольника равны".

С: "Существует число х такое, что х – 8 = 11".

D: "При любом действительном а уравнение х² = а имеет действительный корень".

Указать в каждом случае, какое из них истинно, какое ложно.

3.4. Даны высказывания:

А: "Сегодня ясно".

В: "Сегодня идет снег".

С: "Я буду решать задачи".

D: "Сегодня воскресенье".

Сформулировать высказывания, соответствующие следующим формулам:

1) А  D; 2) D  В; 3) D  А.

3.5. Даны высказывания:

А: "Сегодня воскресенье".

В: "Сегодня идет снег".

С: "Я буду кататься на коньках".

D: "Я буду слушать музыку".

Записать следующие высказывания символами:

1) "Если сегодня воскресенье, то я буду слушать музыку";

2) "Если сегодня идет снег, то я не буду кататься на коньках".

3.6.  Даны высказывания:

А: "Сумма а + b натуральных чисел а и b делятся на число с".

В: "Натуральные числа а и b делятся на число с".

Сформулировать высказывания, соответствующие следующим формулам:

1) А  В; 2) В  А; 3) А  В.

Какие из них истинны, какие ложны?

3.7. По условию задачи 3.4 сформулировать высказывания, соответствующие следующим выражениям:

1) D  ; 2) А  ;

3)  А; 4)

5) 6)

3.8. По условиям задачи 3.5 записать символами сложное высказывание: "Если сегодня не воскресенье и не идет снег, то я буду кататься на коньках".