1.2. Основные операции над множествами Вопросы для повторения

1. Что называется объединением множеств?

2. Что называется пересечением множеств?

3. Что называется разностью множеств?

4. Что называется дополнением множеств?

5. Что называется декартовым произведением?

1.5. Пусть универсальное множество U – множество всех преподавателей военного училища; А – множество всех преподавателей данной организации старше 35 лет; В – множество преподавателей, имеющих стаж работы более 10 лет; С – множество начальников кафедр. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:

1)  ; 2)  ?

Решение

1)  – множество преподавателей училища, стаж работы которых не превышает 10 лет;

2)  – множество начальников кафедр не старше 35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.

1.6. Пусть , , . Найти:

1)  ; 2)  .

Решение

1)  ;

2)  .

1.7. Проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера-Венна справедливость соотношения .

Решение

Построим диаграммы Эйлера-Венна. Левая часть равенства представлена на рис. 1.2, а ( заштрихована дважды), правая – на рис. 1.2, б ( заштрихована дважды).

а) б)

Рис. 1.2. Диаграммы Эйлера-Венна для соотношения

Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей иллюстрируемого соотношения.

1.8. Пусть универсальное множество U – множество всех преподавателей военного училища; А – множество всех преподавателей данной организации старше 35 лет; В – множество преподавателей, имеющих стаж работы более 10 лет; С – множество начальников кафедр. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:

1)  ; 2)  ; 3)  ?

1.9. Пусть , , . Найти:

1)  ; 2)  .

1.10. Для каких из следующих пар множеств имеет место одно из соотношений: ; ; :

1)  ; ; 2)  ; ;

3)  ; .

1.11. Осуществить операции над множествами А = {2, 4, 6, 8}, B = {2, 6, 9}, если U = {1, 2, 3,…, 10}:

а) А  В; б) В  А;

в) А \ В; г) ;

д) ; е)  В;

ж) А  ; з)  .

1.12.  Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6}; А={1, 2, 3}, B = {1, 3, 5, 6}, С = {4, 5, 6}.

Найти множества:

а) А \ С; б) В \ С;

в) А \ В; г) С \ В;

д)  В; е) В  ;

ж) А  С; з) (С  А)\ (С  А).

1.13. Даны множества ; ; ; . Задайте списками множества:

1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ;

5) 

1.11. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна множества:

1)  и ; 2)  ; и ;

3)  ; и ; 4)  ; и ;

5)  .

1.14. Даны два произвольных множества А и В такие, что . Что представляют собой и ?

1.15. Даны два произвольных множества C и D такие, что . Что можно сказать о , ?

1.16. Опрос 100 курсантов дал следующие результаты о количестве курсантов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30; французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанский и французский – 10; немецкий и французский – 5; все три языка – 3.

1) Сколько курсантов не изучает ни одного языка?

2) Сколько курсантов изучает один французский язык?

3) Сколько курсантов изучает немецкий язык в том и только в том случае, если они изучают французский язык?

1.17. Опрос 100 курсантов дал следующие результаты о количестве курсантов, изучающих различные иностранные языки: только немецкий – 18; немецкий, но не испанский – 23; немецкий и французский – 8; немецкий – 26; французский – 48; французский и испанский – 8; никакого языка – 24.

1) Сколько курсантов изучают испанский язык?

2) Сколько курсантов изучает немецкий и испанский языки?

3) Сколько курсантов изучают французский язык в том и только в том случае, если они не изучают испанский?