§1. Операции над событиями. Элементы комбинаторики.

1. Пусть событие А – при аварии сработал первый сигнализатор, событие В – сработал второй сигнализатор. Опишите события: А+В, АВ, ,,+, А+В-АВ.

2. Из множества супружеских пар наудачу выбирается одна. Событие А – мужу больше 30 лет, событие В – муж старше жены, событие С – жене больше 30 лет. Что означают события: АВС, ,?

3. По мишени производят три выстрела. Пусть событие А_i , i=1, 2, 3, - попадание при i-том выстреле. Представьте в виде объединения и пересечения событий А_i и следующие события:

а) А – три попадания в мишень;

б) В – три промаха;

в) С – хотя бы одно попадание;

г) D – хотя бы один промах;

д) Е – не менее двух попаданий;

ж) G – попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.

4. Монету подбрасывают три раза. Опишите пространство элементарных исходов Ω и определите подмножества, соответствующие следующим событиям:

а) А – «герб» выпал ровно один раз;

б) В – ни разу не выпала «цифра»;

в) С – выпало больше «гербов», чем «цифр»;

г) D – «герб» выпал не менее двух раз подряд.

5. Схема электрической цепи приведена на рис.1. Через участок схемы, вышедший из строя, ток не проходит. Пусть А_i – выход из строя элемента i, i=1, …, 6. Выразите события А и через событияА_i, если А – выход из строя всей схемы.

Рис. 1.

6. В группе студентов несколько человек являются отличниками; группа делится также по цвету волос на шатенов, брюнетов и блондинов. Из группы наудачу отобраны два человека с разным цветом волос. Пусть событие А – выбран шатен, событие В – выбран брюнет, событие С – выбран отличник. Опишите события: АС, ,АВС.

7. Резцом обточено 120 поршней. При проверке оказалось, что только 105 поршней имеют размеры, лежащие в пределах допуска. Найти частоту изготовления годных поршней.

8. Брошены 100 раз две игральные кости. При этом совпадение числа очков было 15 раз, а шестерка на обеих гранях костей выпала 4 раза. Определите частоту выпадения шестерок в случае совпадения числа очков.

§2. Классическое определение вероятности.

7. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет чётное число очков.

8. Шифрзамок состоит из трех колёсиков по 10 цифр на каждом. Найти вероятность открыть замок с первой попытки при случайном наборе цифр.

9. Найти вероятность того, что при случайном выборе карты из колоды в 36 карт появится дама.

10. В партии из 80 деталей 11 нестандартных. Взятые для контроля 5 деталей оказались стандартными. Определить вероятность того, что взятая затем деталь будет: а) стандартной; б) нестандартной.

11. В коробке имеются 10 букв: А, А, А, В, И, К, М, О, Т, Т. Найти вероятность того, что если наудачу вынимать одну букву за другой, то можно сложить слово АВТОМАТИКА.

12. В цехе из 80 рабочих не выполняют норму выработки 5 человек. По списку случайно отбирается 3 человека. Какова вероятность того, что эти рабочие: а) выполняют норму, б) не выполняют норму?

13. В партии из 100 изделий имеются 12 бракованных. Из партии наудачу выбираются 10 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 10 изделий будут ровно 2 бракованных.

14. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

15. В автобусе находятся 5 пассажиров, причем каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любой из оставшихся 7 остановок автобуса. Найти вероятность того, что: а) все пассажиры выйдут на одной остановке; б) все выйдут на четвертой остановке; в) все выйдут на разных остановках; г) на одной остановке выйдут три, а на другой два.

16. Восемь студентов садятся в аудитории случайно на один ряд. Найти вероятность того, что три определенных студента окажутся рядом.

17. Из шести карточек с буквами А, В, Д, З, К, О выбираются наудачу в определенном порядке пять. Найти вероятность того, что при этом получится слово ЗАВОД.

18. Буквы, составляющие слово РАКЕТА, написаны по одной на шести карточках; карточки перемешаны. а) Чему равна вероятность того, что вынимая четыре буквы, получим слово РЕКА; б) Какова вероятность сложить слово КАРЕТА при вынимании всех букв?

19. В цех сборки привезли 25 карбюраторов, из которых 20 изготовлены Московским заводом. Найти вероятность того, что среди 10 взятых наудачу карбюраторов окажутся: а) все карбюраторы Московского завода, б) 7 карбюраторов Московского завода.

20. Из 36 номеров лотереи 5 выигрышных. Зачеркивается в одном билете наудачу 5 номеров. Какова вероятность того, что 3, 4, 5 из них будут выигрышными?

21. Из колоды в 52 карты взяли 5. Найти вероятность того, что среди этих карт будет шестерка трефовой масти.

22. Четыре пассажира случайным образом рассаживаются по шести вагонам. Найти вероятность того, что в первых четырех вагонах окажется по одному пассажиру.

23. 8 человек рассаживаются за круглым столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся сидящими рядом.

24. Из колоды в 52 карты наудачу извлекают три. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.

25. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны вынимают три шара. Найти вероятность того, что все они будут черными.

26. Десять книг на одной полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

27. В конверте среди 80 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 20 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

28. Полная колода карт (52 листа) делится пополам. Найти вероятность того, что число черных и красных карт в обеих пачках будет одинаковым.

29. В лифте едут 5 пассажиров, которые случайным образом сходят на семи этажах. Найти вероятность того, что на первых 5 этажах сойдет ровно по одному пассажиру.

Ответы: 7. ½; 8. 10^-3; 9. 1/9; 10. а) 64/75; б) 11/75; 11. 3!2!/10!; 12. а) 0,822; б) 1/5056; 13. 0,245; 14. 0,061; 15. а) 1/7⁴; б) 1/7⁵; в) 3/7⁴; г) 60/7⁴; 16. 3/38; 17. 1/720; 18. а) 1/360; б) 1/360; 19. а) 13/230; б) 60/253; 20. 1/81, 1/2432, 1/376992; 21. ….; 22. 1/54; 23. 2/7; 24. …; 25. 91/460; 26. 1/15; 27. ¼; 28. 0,22; 29. 120/16807.