§6. Схема Бернулли.
1. Бросают пять игральных костей. Найдите вероятность того, что на трех из них выпадет пятерка.
Ответ: Р≈0,032.
2. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найдите вероятность того, что в день поступит четыре заявки.
Ответ: Р≈0,251.
3. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход исключается) три партии из четырех или пять из восьми?
Ответ: Вероятнее выиграть три партии из четырех.
4. Сколько нужно параллельно соединить элементов, вероятность безотказной работы каждого из которых за время t равна 0,9, для того чтобы вероятность безотказной работы всей системы за время t была не меньше 0,999?
Ответ: Не менее трех.
5. Известно, что на выпечку 1000 булочек с изюмом нужно израсходовать 10000 изюмин. Найдите вероятность того, что:
а) наудачу выбранная булочка не будет содержать изюма;
б) среди пяти выбранных наудачу булочек две не будут содержать изюма, а в остальных будет хотя бы по одной изюмине.
Ответ: а)
Р=е-10≈0,0000468;
б) Р=
≈2,19∙10-8.
§8. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики.
1. Игральную кость бросают один раз. Если выпадет четное число очков, игрок выигрывает 8 рублей, если нечетное, но больше одного - проигрывает 1 рубль, если выпадает одно очко - проигрывает 10 рублей. Найти распределение и функцию распределения случайной величины Х – величины выигрыша в данной игре.
Ответ:
|
Х |
-10 |
-1 |
8 |
|
Р |
1/6 |
1/3 |
1/2 |
2. Производят четыре независимых опыта, в каждом из которых некоторое событие А появляется с вероятностью р=0.8. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х – числа появлений события А в четырех опытах.
Ответ:
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Р |
0,0016 |
0,0256 |
0,1536 |
0,04096 |
0,4096 |
3. Из партии в 10 деталей, среди которых две бракованные, наудачу выбирают три детали. Найдите закон распределения числа бракованных деталей среди выбранных. Постройте функцию распределения.
Ответ:
,i=0,1,2.
§9. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.
1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением
Найти:
а) плотность распределения р(х) случайной величины Х;
б) вероятность попадания случайной величины Х в интервал от 0,25 до 0,5;
в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее 0,3;
г) вероятность того, что случайная величина Х примет значение большее 0,7;
д) графики F(х) и р(х).
Ответ: а)
б) 0,1875; в) 0,09; г) 0,51.
2.
Функция распределения непрерывной
случайной величины Х задается формулой
.
Найти:
а) постоянные c и b;
б) плотность распределения р(х) случайной величины Х;
в) P{x1<X<x2}.
Ответ: а) c=1/2,
b=1/π;
б)
;
в)
.
3. Непрерывная случайная величина Х имеет следующую плотность распределения:
Найти:
а) коэффициент а;
б) функцию распределения F(x);
в) графики F(х) и р(х);
г) P{2<X<3};
д) вероятность того, что при четырех независимых испытаниях случайная величина Х ни разу не попадет в интервал (2; 3).
§10. Распределения Пуассона, биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое.
1. Вероятность приема самолетом радиосигнала при каждой передаче равна 0,7. Найдите ряд распределения и функцию распределения числа Х принятых сигналов при шестикратной передаче.
Ответ:
,i=0,1,2,3,4,5,6.