2. Индивидуальные задания

Задача 1. Дан ряд  (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда  и найти величину погрешности при значениях N=10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (Пример приведен в ПРИЛОЖЕНИИ 2).

1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 2) или с использованием средств MATHCAD.

2. Используя функцию , вычислить значения частичных сумм ряда при указанных значениях N.

3. Для каждого N вычислить величину абсолютной погрешности , относительную погрешность d и определить количество верных цифр в S(N)

4. Представить результаты в виде гистограмм.

 

Задача 2 . Дана функция f(a,b,c) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей. Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.

Задача 3. Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 3).

3. Контрольные вопросы

1. Введите определения приближенного числа, абсолютной и относительной погрешности.

2. Какие цифры для заданного приближенного числа являются значащими? Приведите примеры.

3. Какие цифры для заданного приближенного числа являются верными? Приведите примеры.

4. Какие цифры для заданного приближенного числа являются сомнительными? Приведите примеры.

5. Обозначьте связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа

6. Как определяется погрешность арифметических действий?

7. Объясните общую формулу вычисления погрешности.

8. Опишите форму представления чисел в ЭВМ

9. Введите определения машинной бесконечности, машинного эпсилона, границы относительной погрешности. Опишите способы их определения.

10. Как оценивается величина относительной погрешности?

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Варианты заданий к лабораторной работе 1

 Таблица к задаче 1

N		N		N
1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

 Таблица к задаче 2

№					№
1		0.0125	0.283	0.0187	16		4.41	18.5
2		14.29	13.81	10.98	17		16.5	4.2
3		12.28	13.21	12.19	18		52.31	48.95	47.81
4		0.328	0.781	0.0129	19		4.81	4.52	9.28
5		14.85	15.49		20		16.21	16.18	21.23
6		12.31	0.0352	10.82	21		121	0.324	1.25
7		12.45	11.98		22		25.18	24.98
8		3.456	0.642	7.12	23		3.1415	3.1411	10.91
9		1.245	0.121	2.34	24		3.14	1.57	0.0921
10		13.12	0.145	15.18	25		14.85	15.49
11		0.643	2.17	5.843	26		5.325	5.152	5.481
12		0.3575	2.63	0.854	27		71.4	4.82	49.5
13		14.91	0.485	14.18	28		4.356	4.32	0.246
14		16.5	4.12	0.198	29		3.42	5.124	0.221
15		5.21	14.9	0.295	30		0.5761	3.622	0.0685

 ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Пример оформления отчета по задаче 1.

Задача 1. Постановка задачи: дан ряд . Найти сумму ряда S аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда S_N= и найти величину абсолютной и относительной погрешностей погрешностей при значениях N=10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵. Построить гистограммы зависимости погрешностей и количества верных цифр результата от N.

 

Аналитическое решение задачи (только если не получилось в Mathcad):

S_N=  =

 

  ,

  . ОТВЕТ: S = = 44.

 

Теоретический материал. Пусть - точное значение,  - приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения  называется величина . Относительной погрешностью значения  (при 0) называется величина . Так как значение  как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:   . Величины  и  называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

 Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

 Введем функцию S(N)=  . Тогда абсолютную погрешность можно определить с помощью функции d(N) = .

 

Вычисления в MATHCAD приведены в файле «таком-то» (см. фрагмент программы на MATHCAD)

Указание. Предварительно ознакомьтесь с форматами представления результатов.

 

Результаты вычислительного эксперимента:

Частная сумма	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность	Верные цифры числа
S(10)=38.439560439	6	0.01	4´101
S(100)=43.3009269	0.7	0.02	43
S(1000)=43.9282153	0.07	0.002	43.9
S(10000)=43.992802	0.007	0.0002	43.99
S(100000)=43.9992802159957	0.0007	0.00002	43.999

 

Здесь следует описать, как вы определили количество верных цифр.

 

 Вывод: Сформулировать самостоятельно

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

 

Задача 3. Постановка задачи: для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.

Фрагмент текста программы в системе MATHCAD:

 

 

Искомые величины в MATHCAD найдены методом простого перебора.

Выводы сформулировать самостоятельно.