- •Лабораторная работа 1. Теория погрешностей и машинная aрифметика
- •Основные теоретические сведения
- •1.1.Абсолютная и относительная погрешность
- •1.2.Верные цифры числа
- •1.3. Связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа
- •Погрешности арифметических действий
- •Машинный нуль, машинная бесконечность, машинный эпсилон.
- •Индивидуальные задания
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий к лабораторной работе 1
- •Примеры решения задач
- •Производные основных функций
Лабораторная работа 1. Теория погрешностей и машинная aрифметика
Цель: сформировать навыки решения задач на вычислительные погрешности.
Основные теоретические сведения
1.1.Абсолютная и относительная погрешность
Определение. Приближенным числом называется число, незначительно отличающееся от точного числа и заменяющее последнее в вычислениях.
Математическая запись
Определение. Под абсолютной погрешностью Δ приближенного числа понимается разность
Отсюда следует, что заключено в пределах
или
Определение. Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа
Так как обычно неизвестно, то на практике применяют оценку
1.2.Верные цифры числа
Всякое положительное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби
где - цифра числа в i – м разряде, m – старший десятичный разряд числа.
Пример:
Определение. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифраи или является представителем сохраненного десятичного разряда.
Пример. = 0.002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими.
Определение. n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными
Пример. Если в числе = 0.03450 все цифры верные, то .
Таким образом, если для приближенного числа известно, что
то, по определению, первые n цифр этого числа являются верными.
Пример. , . Тогда
Т.е. m-n+1=-1. Т.к. m = 1, то n = 3. Следовательно, приближенное число имеет 3 верных цифры и его следует округлить следующим образом:
1.3. Связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа
Если положительное приближенное число имеет относительную погрешность , то количество верных знаков n данного числа можно определить по формуле
и в качестве n взять ближайшее целое к число.
Погрешности арифметических действий
Общая формула вычисления погрешности
Машинный нуль, машинная бесконечность, машинный эпсилон.
В ЭВМ для вещественных чисел используется двоичная система счисления и принята форма представления чисел с плавающей точкой , . Здесь - мантисса; - двоичные цифры, причем всегда =1, p-целое число называемое двоичным порядком. Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы. Диапазон представления чисел в ЭВМ ограничен конечной разрядностью мантиссы и значением числа p. Все представимые числа на ЭВМ удовлетворяют неравенствам: , где , . Все числа, по модулю большие , не представимы на ЭВМ и рассматриваются как машинная бесконечность. Все числа, по модулю меньшие , для ЭВМ не отличаются от нуля и рассматриваются как машинный нуль. Машинным эпсилон называется относительная точность ЭВМ, то есть граница относительной погрешности представления чисел в ЭВМ. Покажем, что . Пусть , тогда граница абсолютной погрешности представления этого числа равна . Поскольку , то величина относительной погрешности представления оценивается так:
.
Машинное эпсилон определяется разрядностью мантиссы и способом округления чисел, реализованным на конкретной ЭВМ.
Примем следующие способы определения приближенных значений параметров, требуемых в задаче:
1. Положим , где n - первое натуральное число, при котором происходит переполнение.
2. Положим , где m – первое натуральное число , при котором совпадает с нулем.
3. Положим , где k – наибольшее натуральное число, при котором сумма вычисленного значения 1+ еще больше 1. Фактически есть граница относительной погрешности представления числа .
Результаты вычислительного эксперимента:
Машинная бесконечность
Машинный нуль
Машинное эпсилон