- •Постоянство скорости света - следствие преобразований Лоренца
- •Вывод преобразований Лоренца из принципа относительности
- •Вывод преобразований Лоренца в трехмерном векторном виде
- •Следствия из преобразований Лоренца
- •Примечания к выводу преобразований Лоренца Примечание 1. О линейности преобразований Лоренца
- •Примечание 2. О преобразовании поперечных размеров движущихся тел
- •Примечание 3. Вывод явного вида функции a(u)
- •Примечание 4. О терминологии
- •Литература
- •III закон Ньютона
- •III закон Ньютона
III закон Ньютона
III закон Ньютона
По III закону Ньютона сила F, действующая на тело, является проявлением взаимодействия с некоторым источником, причем само тело действует на источник с силой F’, равной F и направленной в противоположную сторону: F= — F’. Для центрально-симметричных взаимодействий силы действия и противодействия всегда направлены по одной прямой. В общем случае эти силы направлены как показано на рис. A1
не по линии, соединяющей точки приложения этих сил, а по параллельным линиям. При этом оказывается, что суммарный момент сил в системе двух взаимодействующих тел A и B отличен от нуля!
Момент количества движения
Докажем, что отличный от нуля момент сил, действующих на некоторую систему из N тел, приводит к изменению ее момента количества движения. Выпишем уравнения движения для каждого из N тел в следующем виде:
Введенные здесь обозначения очевидны: Fi — суммарная сила, действующая на тело i; vi и pi — скорость и импульс этого тела в данный момент; t — промежуток времени, малый настолько, чтобы можно было пренебречь изменением любых параметров системы. Умножим равенство (A1) слева векторно на радиус-вектор точки приложения силы Fi:
Правую часть этого равенства можно переписать в виде
так как имеет место тождество
Последнее слагаемое в правой части этого тождества обращается в ноль в виду того, что ri||pi (векторное произведение параллельных векторов равно нулю). Проведем в (A2) суммирование по i:
В левой части этого равенства стоит импульс суммарного момента сил M, а в правой - изменение суммарного момента количества движения L всей системы:
M t=L (A3)
Из этого равенства следует, что отличный от нуля момент сил приводит к изменению вектора момента количества движения системы. В системе двух тел, изображенной на рис. A1, суммарный момент сил отличен от нуля. Такая система должна, в соответствии с формулой (A3), ускоренно вращаться относительно общего центра масс, что противоречит, в частности, закону сохранения энергии. Могут ли существовать системы, подобные изображенной на рис. A1?
Центрально-симметричный потенциал
Сила, действующая на частицу в потенциальном поле, равна
где введен векторный оператор градиента
.
Для центрального-симметричного потенциального поля потенциал взаимодействия двух частиц зависит (по определению) только от расстояния между ними: U(r1, r2)=U(|r1 r2|). Следовательно, силы взаимодействия частиц F1 и F2 равны:
Здесь
.
Обозначим |r1 r2|=r и заметим, что
Таким образом, для центрально-симметричных потенциалов силы действия и противодействия всегда направлены по одной линии в противоположенные стороны. В природе центрально-симметричные потенциалы описывают все дальнодействующие поля гравитационное и электростатическое. Нецентральные поля (ядерные) имеют конечный радиус взаимодействия (-13см) и не проявляются в макроскопической физике.
Пример нецентральных сил
Тем не менее центрально-симметричные потенциалы могут приводить к нецентральным взаимодействиям. Приведем конкретный пример такой системы. Заряд q расположим на расстоя нии L от середины диполя, состоящего из зарядов +q и -q, как показано на рис. A2. Дл ина диполя dL.
Силы F1 и F2, действующие на заряд со стороны диполя, равны по величине. Их векторная сумма равна F. Силы, действующие на диполь со стороны заряда, равны -F1 и -F2 соответственно, а их сумма -F. Момент сил F и -F относительно любой точки отличен от нуля, направле н по часовой стрелке и равен M=FL. Но заметим, что момент сил -F1 и -F2, п риложенных к диполю, тоже отличен от нуля, направлен против часовой стрелки и равен M’ F1d. Из сравнения треугольника сил F1, F2, F с треугольником, в вершинах которого находятся заряды, видим, что F 1/F L/d. Отсюда получаем, что F1d FL и M=M’, а в векторной форме M= M’. Следовательно, суммарный момент сил, действующих в этой системе, равен нулю. Заряд, находящийся в точке B, действуя на диполь, расположенный в точке A, создает не только силу F, но и момент сил M’.
Поле диполя
Покажем, что потенциальное поле, создаваемое диполем, нецентральное.
Для этого обратимся к рис. А3 и вычислим потенциал в произвольной точке на расстоянии R от центра диполя под углом к вектору d, соединяющему заряды диполя:
Это выражение на расстояниях R>>d можно упростить, используя разложение по малой величине d/R:
С учетом этого приближения формула (A8) может быть переписана в виде
Для элементарного диполя d 0, q стремится к бесконечности при фиксированном значении дипольного момента p=qd. Потенциал поля такого диполя
Видим, что потенциальное поле диполя не обладает сферической симметрией — потенциал явно зависит не только от расстояния R до диполя, но и от угла между осью диполя и направлением в точку наблюдения. Таким образом, даже в центрально-симметричных потенциальных полях взаимодействие элементарных объектов может иметь вид, характерный для нецентральных потенциалов. Силы действия и противодей ствия равны, направлены противоположно, но не по одной прямой, соединяющей точки приложения сил, а по параллельным линиям. При этом взаимодействие в целом описывается не только силами, но и моментами сил, т. е. имеет более сложный вид, чем обычно подразумевается при формулировке III закона.