Преобразования Лоренца  С.Н.Манида

Содержание

1. Постоянство скорости света — следствие преобразований Лоренца

2. Вывод преобразований Лоренца из принципа относительности

3. Вывод преобразований Лоренца в трехмерном векторном виде

4. Следствия из преобразований Лоренца

5. Преобразования Лоренца-Фока (лекция для студентов)

6. Примечания:

   • О линейности преобразований Лоренца

   • О преобразовании поперечных размеров движущихся тел

   • Вывод явного вида функции a(u) 

Литература

Постоянство скорости света - следствие преобразований Лоренца

В основе теории относительности лежит известный и в ньютоновской механике принцип равноправия инерциальных систем отсчета. Этот принцип был распространен на все физические явления, включая электромагнитные.

Новым в релятивистской физике стал постулат постоянства скорости света в вакууме c во всех инерциальных системах отсчета и ее независимость от скоростей источника и приемника излучения. Этот постулат противоречит классическому закону сложения скоростей. Принцип и постулат теории относительности позволили вывести законы преобразования физических величин при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, отличные от классических.

Наблюдатель в одной инерциальной системе отсчета описывает событие, произошедшее в точке с координатами x, y, z в момент времени t. В другой инерциальной системе, движущейся со скоростью u вдоль оси X относительно первой, это же событие наблюдается в точке с координатами x’, y’, z’ в момент времени t’. Связь этих координат и моментов времени определяется преобразованиями Лоренца:

Вывод преобразований Лоренца из принципа относительности

Приведем вывод этих преобразований, основанный только на принципе относительности (т. е. на равноправии всех инерциальных систем отсчета).

В этом выводе постулат постоянства скорости света не используется ad hoc, а оказывается следствием принципа относительности.

Обозначим множество всех инерциальных систем отсчета K. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k, k' из K, движущиеся друг относительно друга со скоростью u. Выберем декартовы координаты в этих системах отсчета так, чтобы в начальный момент времени начала коор инат совпадали, а оси были параллельны.

В системе отсчета k моменты времени и координаты вдоль направления u будем обозначать t и x соответственно, в системе отсчета k' — t' и x' .

Оси X и X' направим так, чтобы система k' двигалась со скоростью u относительно системы k вдоль оси X, а система k двигалась со скоростью -u вдоль оси X' системы k' . Равномерное движение свободной материальной точки со скоростью v в системе k описывается уравнением

а в системе k' — уравнением

Преобразование координат t, x, y, z системы k в координаты t', x', y', z' системы k' должно быть таким, чтобы уравнение (L1) переходило в уравнение (L2). Это означает, что прямая в пространстве r, t должна переходить в прямую в пространстве r', t'. Таким свойством обладает линейное преобразование. (см. примечание 1) 

t' = att(u)t+atx(u)x+aty(u)y+atz(u)z, x' = axt(u)t+axx(u)x+axy(u)y+axz(u)z, y' = ayt(u)t+ayx(u)x+ayy(u)y+ayz(u)z, z' = azt(u)t+azx(u)x+azy(u)y+azz(u)z,

где величины a_ij зависят только от скорости относительного движения систем отсчета. При нашем выборе направления этой скорости вдоль параллельных осей X, X' общий вид линейных преобразований можно упростить:

t' = att(u)t+atx(u)x, x' = axt(u)t+axx(u)x, y' = y, z' = y.

(L3) (L4) (L5)

Действительно, в силу однородности и изотропности нашего пространства, преобразования вдоль оси X не должны зависеть от значения координат y и z. Сами координаты y и z тоже не должны преобразовываться, иначе поперечные размеры тел будут зависеть от скорости их движения, что приведет к неравноправию различных инерциальных систем отсчета. (см. примечание 2) 

(Для тех, кого эти соображения не убедили, здесь приведен вывод преобразований Лоренца в трехмерной векторной форме)

Найдем явный вид четырех неизвестных функций a_tt(u), a_tx(u), a_xt(u), a_xx(u), опираясь только на принцип относительности и с войства однородности и изотропности нашего пространства-времени.

Повернем оси координат в двух системах отсчета вокруг некоторого направления, перпендикулярного скорости u, на 180⁰. Это приведет замене x на -x и x' на -x '. Если теперь заменить направление скорости u на противоположное, т. е. на -u, то преобразования (L3), (L4) примут вид

t' = att(u)tatx(u)x, x' =axt(u)t+axx(u)x

(L6)  (L7)

Заметим, что произведенные преобразования привели к тому, что система k' движется, как и прежде, вдоль оси X системы k со скоростью u. В силу изотропности нашего пространства (равноправия всех направлений) вид равенств (L3), (L4) не зависит от направления осей X, X' следовательно формулы (L6), (L7) должны совпадать с (L3), (L4).

Это возможно, если функции a_tt(u), a_xx(u) - четные, а функции a_xt(u), a_tx(u) — нечетные. Теперь учтем, что точка x=0 движется со скоростью -u вдоль оси X' в системе k': x'=-ut'.

Из уравнений (L3), (L4) следует a_xt(u)= vua_tt(u).

Аналогично точка x'=0 движется со скоростью u вдоль оси X в системе k: x=ut. Из тех же уравнений следует a_xt(u)= ua_xx(u) или a _xx(u)= a_tt(u)?a(u). Вводя для симметрии вместо нечетной функции a_tx(u) четную функцию g(u) по формуле a_tx(u)= ua(u)g(u), получаем

t' = a(u)[tu g(u)x], x' = a(u)[x ut].

(L8)  (L9)

Рассмотрим еще одну инерциальную систему отсчета k'', движущуюся со скоростью u ' вдоль о си X' системы k'. Закон преобразования из системы k' в систему k'' должен иметь вид, аналогичный (L8), (L9):

t'' = a(u')[t'u' g(u')x'], x'' = a(u')[x' u't'].

(L10) (L11)

Подставляя в (L10), (L11) выражения для x', t' из (L8), (L9), получаем

С другой стороны, равенства (L12), (L13) описывают переход из системы k в систему k' , движущуюся вдоль оси X с некоторой скоростью u'':

t'' = a(u'')[tu'' g(u'')x], x'' = a(u'')[x u''t].

(L14) (L15)

Из сравнения соотношений (L12), (L13) с (L14), (L15) следуют равенства

g(u)=g(u')=g=const,	(L16)
a(u'')=a(u)a(u')(1+uu'g),	(L17)
u''=(u+u')/(1+uu'g).	(L18)

Равенство (L16) вводит некоторую постоянную величину, размерность которой — обратный квадрат скорости. Эта величина одинакова в о всех системах отсчета, и ее численное значение не может быть выведено из каких-либо общих принципов. Экспериментальное значение этой величины g=c^-2 , где c — скорость света в вакууме. В классической нерелятивистской механике g=0.

Равенство (L17) — функциональное уравнение, из которого (с учетом (L18)) можно определить вид неизвестной функции a(u) (см. примечание 3):

Равенство (L18) определяет закон сложения скоростей для движений вдоль оси X: u' - скорость движения точки вдоль оси X' в системе отсчета k', u — скорость движения системы k' вдоль оси X в системе от счета k,  u'' — скорость движения точки вдоль оси X в системе отсчета k .

Важное свойство этого закона: если u', то u''; если u'=c, то u''=c; если u'>c, то u''>c.

Следовательно, если скорость частицы (или электромагнитной волны) равна c в одной системе отсчета, то она одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Итак, мы вывели соотношения (*) из принципа относительности и получили следствием постоянство скорости c во всех инерциальных системах отсчета. Важно отметить принципиальное отличие данного подхода к выводу преобразований Лоренца от общепринятого. Постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета — это экспериментальный факт, установленный с определенной степенью точности. Приведенный выше вывод не опирается на этот факт, из него следует только существование скорости, одинаковой во всех инерциальных системах отсчета.