Вывод преобразований Лоренца в трехмерном векторном виде

Общий вид линейных преобразований

t' = att(u)t+atx(u)x+aty(u)y+atz(u)z, x' = axt(u)t+axx(u)x+axy(u)y+axz(u)z, y' = ayt(u)t+ayx(u)x+ayy(u)y+ayz(u)z, z' = azt(u)t+azx(u)x+azy(u)y+azz(u)z,

можно записать через трехмерные вектора:

t' = a(u)t+b(u)(ur), r'|| = d(u)ut+e(u)r||, r'^ =f(u)r^ .

(L3d) (L4d) (L5d)

Теперь учтем, что точка r=0 движется со скоростью u вдоль оси X' в системе k': r'=ut'. Из уравнений (L3d), (L4d) следует d(u)= a(u). Для симмтерии заменим b(u)=-a(u)g(u)  Аналогично точка r'=0 движется со скоростью u вдоль оси X в системе k: r=ut . Из тех же уравнений следуетe(u)= a(u):

t' = a(u)[tg(u)(ur)], r'|| = a(u)[ r|| ut].

(L8d) (L9d)

Рассмотрим еще одну инерциальную систему отсчета k'', движущуюся со скоростью u' вдоль оси X' системы k'. Закон преобразования из системы k' в систему k'' должен иметь вид, аналогичный (L8), (L9):

t'' = a(u')[t'g(u')(u'r')], r''|| = a(u')[ r'|| u't'], r''^ =f(u')r'^ .

(L10d) (L11d) (L11pd)

Подставляя в (L10d), (L11d) выражения для r', t' из (L5d), (L8d), (L9d), получаем

С другой стороны, равенства (L12d), (L13d), (L13pd) описывают переход из системы k в систему k', движущуюся вдоль оси X с некоторой скоростью u'':

t'' = a(u'')[tg(u'')(u''r)], r''|| = a(u'')[r|| u''t], r''^ =f(u'')r^ .

(L14d) (L15d) (L15pd)

Из сравнения соотношений (L12d), (L13d) с (L14d), (L15d) следуют равенства

g(u)=g(u')=g=const,	(L16d)
a(u'')=a(u)a(u')(1+uu'g),	(L17d)
u''=(u+u')/(1+uu'g),	(L18d)
f(u'')=f(u)f(u').	(L18pd)

Равенства (L16d), (L17d), (L18d) совпадают с (L16), (L17), (L18), а (L18pd) с учетом (L18d) позволяет сделать вывод, что 0f(u) =1, т. е. поперечные координаты действительно не преобразуются при линейных преобразованиях Лоренца.

Окончательно в векторной форме имеем

Заметим, для полноты, что в формулах (L20d), (L20pd) r_||=u(ru)/u², r _^=ru(ru)/u²

Следствия из преобразований Лоренца

1. Если в одной системе отсчета некоторые события происходят в точках x₁ и x₂ в один и тот же момент времени t, то в другой системе отсчета эти события происходят в точках x'₁ и x'₂ в разные моменты времени t'₁ и t'₂:

Понятие одновременности оказывается зависящим от выбора системы отсчета.

2. Если в одной системе отсчета между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке, проходит время t, то в другой системе отсчета между этими же событиями проходит время

Это соотношение выражает релятивистский эффект замедления времени в движущихся объектах.

3. Если в одной системе отсчета покоящаяся линейка имеет длину l, то в системе отсчета, в которой линейка движется со скоростью u вдоль своей оси, ее длина

Этот эффект называется релятивистским сокращением продольных размеров тела. Поперечные размеры тела не изменяются при переходе в другие инерциальные системы отсчета.

4. Если в одной системе отсчета тело имеет скорость v = (v_x, v_y, v_z), то его скорость v' = (v'_x, v'_y, v'_z) в другой системе отсчета равна

или в трехмерной векторной форме

5. Из соотношений (n4), (n5) следует постоянство скорости c в различных системах отсчета. Действительно, если вычислить сумму квадратов левых частей этих равенств при условии

v²=(v_x)²+(v_y) ²+(v_z) ²=c², (n6)

получим

v'²=(v'_x)²+ (v'_y)²+(v'_z) ²=c². (n7)

Т. е. скорость c одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета (независимо от направления). Заметим, что направления скоростей v и v' в общем случае различны в разных системах отсчета.