П рактичне заняття № 5
Тема. Вирази. Рівняння та нерівності, способи їх розв’язування
Мета. Застосувати теоретичні відомості про рівняння та нерівності до розв’язування вправ.
Студенти повинні знати:
числові вирази;
вирази із змінними;
тотожні перетворення виразів. Тотожності;
числові рівності і нерівності;
основні властивості числових рівностей;
основні властивості числових нерівностей;
рівняння з однією змінною. Множина коренів рівняння. Рівносильні рівняння;
нерівності з однією змінною.
Студенти повинні вміти:
використовувати теореми про рівносильність рівнянь;
розв'язувати нерівності з однією змінною, використовуючи теореми про
рівносильність нерівностей;
розв'язувати текстові задачі з допомогою складання рівнянь.
Література
1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К. : Вища шк., 1995. С. 238 – 287. 349 – 379.
2. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. Вища шк., 1980. С. 153-154, 157-161.
3. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. Вища шк., 1987. С. 192 -199.
4. Основы начального курса математики: Учеб. пособие Л. П. Стойлова. - М. “Просвещение” 1988. С. 242 - 307.
План та хід заняття
І. Актуалізація опорних знань числові вирази;
Вирази із змінними.
Тотожні перетворення виразів. Тотожності.
Числові рівності і нерівності.
Основні властивості числових рівностей.
Основні властивості числових нерівностей.
Рівняння з однією змінною. Множина коренів рівняння. Рівносильні рівняння. Теорема про рівносильність рівнянь.
Нерівності з однією змінною.
ІІ. Розв’язування вправ
1. Перевірте, чи є число -4 коренем рівняння х-0,5∙(х-12)=13-0,25∙х, якщо воно задано на множині дійсних чисел.
2. Рівняння 2х4 +4х2-6=0 розглядається на множині натуральних чисел. Поясніть, чому х=1 є коренем рівняння, а х=2 і х=-1 не є коренями цього рівняння.
3. Замість трьох крапок поставте або «необхідно», або «достатньо», або «необхідно і достатньо» так, щоб отримати істинні висловлювання:
1)
Для того, щоб число а
було коренем рівняння
,
…, щоб число а
належало області визначення рівняння.
2) Для того, щоб число а було коренем рівняння , …, щоб при підстановці числа а замість х рівняння перетворювалось в правильну числову рівність.
3) Для того, щоб число а було коренем рівняння , …, щоб число а належало області визначення і при підстановці числа а замість х рівняння перетворювалось в правильну числову рівність.
4. Чи правильні висловлення:
1) Для того, щоб добуток (х-3)(х+5)(х-1) дорівнював нулю, необхідно, щоб х=3.
2) Для того, щоб добуток (х-3)(х+5)(х-1) був рівним нулю, достатньо, щоб х=1.
5. Учень розв’язав рівняння 5х+15=3х+9 так:
5(х+3)=3(х+3); 5=3 – і сказав, що це рівняння коренів не має, так як його розв’язання приводить до хибної рівності. Чи правий учень?
6.
Розв’яжіть рівняння
і визначте, яке його перетворення
призводить до появи стороннього кореня
х=2.
7. Встановіть, які з наступних пар рівнянь рівносильні на множині дійсних чисел:
1)
і 
;
2)
і 
;
3)
і 
.
8. Розв’яжіть рівняння (всі вони визначені на множині дійсних чисел) і поясніть, які теоретичні положення були при цьому використані:
1)
; 2)
;
3)
;
4)
9. Розв’яжіть рівняння, використовуючи залежність між компонентами і результатами дій:
1) (х+70)·4=328;
2) 560:(х+9)=56;
3) (85·х+765):170=98;
4) (х-13581):709=36.
10. Розв’яжіть рівняння різними способами:
1) (х+1)2+3(х-1)=0;
2) (х+1)(х-2)+(х-2)(х+4)=6(2х+5).
11.
При яких значення х
вирази 2х+3(х+2)
і
мають рівні значення?
12. Розв'яжіть задачі алгебраїчним способом:
1) На першій поличці на 16 книжок більше, ніж на другій. Якщо з кожної полиці зняти по 3 книжки, то на першій полиці книжок буде в півтора рази більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?
2) 16 км від турбази до санаторію велосипедист проїхав за 1 год 10 хв. Перші 40 хвилин цього часу він їхав з однією швидкістю, а решту часу – зі швидкістю, на 3 км/год меншою. Знайдіть швидкість велосипедиста на першій ділянці шляху.
13.
Чи є число 3 розв’язком нерівності
<
,
визначеної на множині дійсних чисел? А
число 4,25?
14. Чи рівносильні на множині дійсних чисел наступні пари нерівностей:
1)
<
і
>3;
2)
>0
і
>0;
3)
>
і
<2?
15. Які з наступних висловлень істинні:
1)
<
>4; 3)
<
<5;
2)
<
<30; 4)
<
<20?
16. Розв'яжіть нерівності і поясніть, які теоретичні положення були при цьому використані:
1)
<
2)
4)
3)
5)
17.
Доведіть, що розв’язком нерівності
>
є будь-яке дійсне число.
18.
Доведіть, що не існує дійсного числа,
яке є розв’язком нерівності
>
.
19.
Доведіть, що при будь-якому дійсному а
значення виразу
менше, ніж значення виразу
.
20. Одна сторона трикутника дорівнює 18 см, а друга 23 см. Встановіть:
1) якою може бути найменша довжина третьої сторони (у см);
2) якою може бути найбільша довжина третьої сторони (у см).
21. Одна сторона трикутника дорівнює 5 м, а друга 8 м. Які натуральні значення може приймати довжина третьої сторони, якщо периметр трикутника:
1) менший 22м; 2) більший 17 м?
ІІІ. Самостійне розв’язування вправ
Варіант 1
1 Обгрунтуйте, чи рівносильні рівняння:
1)
і
2)
і
3)
і
4)
і
2. Знайдіть область визначення та множину розв’язків рівняння
3. Розв’яжіть задачу алгебраїчним способом:
В двох пачках було 30 зошитів. Якщо з першої пачки переклали в другу 2 зошити, то в першій пачці стало в два рази більше зошитів, ніж в другій. Скільки зошитів було в кожній пачці?
4.
Знайти
найбільше ціле число, яке задовольняє
нерівність
5.
Розв'яжіть нерівність
і поясніть,
які теоретичні положення були при цьому
використані.
Варіант 2
1. Обгрунтуйте, чи рівносильні рівняння:
1)
і
2)
і
3)
і
4)
і
2. Знайдіть область визначення та множину розв’язків рівняння
3. Розв’яжіть задачу алгебраїчним способом:
У більший бідон вміщається на 2 л молока більше, ніж у менший. А в два більших бідони вміщається стільки молока, скільки в три менших бідони. Скільки літрів молока входить у більший та менший бідони окремо?
4.
При яких цілих значеннях
значення різниці виразів
і
додатнє?
5.
Розв'яжіть нерівність
і поясніть,
які теоретичні положення були при цьому
використані.
Варіант 3
1. Обгрунтуйте, чи рівносильні рівняння:
1)
і
2)
і
3)
і
4)
і
2. Знайдіть область визначення та множину розв’язків рівняння
3. Розв’яжіть задачу алгебраїчним способом:
В одному кошику в 3 рази більше яблук, ніж у другому. Якщо у перший кошик покласти 4 яблука, а в другий 6 яблук, то в першому кошику їх стане у два рази більше, ніж у другому. Скільки яблук у кожному кошику?
4.
Знайти
множину цілих значень
,
які є розв’язком нерівності
5.
Розв'яжіть нерівність
і поясніть,
які теоретичні положення були при цьому
використані.
Варіант 4
1. Обгрунтуйте, чи рівносильні рівняння:
1)
і
;
2)
і
3)
і
4)
і
2. Знайдіть область визначення та множину розв’язків рівняння
3. Розв’яжіть задачу алгебраїчним способом:
Мати старша за дочку на 21 рік, а 4 роки тому вона була старша від дочки в два рази. Скільки років кожній?
4.
Знайти найменше ціле число, яке
задовольняє нерівність
5.
Розв'яжіть нерівність
і поясніть, які теоретичні положення
були при цьому використані.
ІV. Підсумок. Домашнє завдання.
Поняття числової
функції.
Пряма
пропорційність.
Обернена
пропорційність.
Лінійна функція
і її графік.
