- •Модуль 3
- •Тема 3.1.
- •Десяткова система числення (алгоритми виконання дій)
- •Запис і читання чисел в десятковій системі числення
- •2. Порівняння чисел за їх записом в десятковій системі числення
- •3. Алгоритм додавання в десятковій системі числення
- •4. Алгоритм віднімання в десятковій системі числення
- •5. Алгоритм множення в десятковій системі числення
- •6. Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
- •1 . Позиційні і непозиційні системи числення
- •2. Запис і читання чисел в інших недесяткових системах числення
- •3. Алгоритм переходу від десяткової системи числення до іншої позиційної системи з довільною основою q
- •4. Перехід від недесяткової системи числення до десяткової
- •5. Перехід від однієї недесяткової системи числення до іншої недесяткової системи числення
- •6. Алгоритми додавання і віднімання, множення і ділення чисел в недесяткових системах числення
- •Виконати множення в трійковій системі числення: 2102 · 21; 122 · 22.
- •П рактичне заняття № 1
- •План та хід заняття
- •1. Поняття відношення подільності
- •2. Властивості відношення подільності
- •3. Достатня умова подільності суми (різниці)
- •4. Достатня умова подільності добутку
- •5. Ознаки подільності чисел на 2 і на 5
- •6. Ознаки подільності чисел на 4 і на 25
- •7. Ознаки подільності чисел на 3 і на 9
- •8. Загальна ознака подільності Паскаля
- •П рактичне заняття № 2
- •План та хід заняття
- •1 . Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
- •2. Обчислення найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного за канонічним розкладом чисел
- •3. Алгоритм Евкліда
- •4. Ознака подільності на складені числа
- •П рактичне заняття № 3
- •План та хід заняття
- •1 . Поняття дробу
- •2. Додатні раціональні числа. Алгебраїчні операції над раціональними числами
- •3. Десяткові дроби
- •Множина додатних ірраціональних чисел. Додатні дійсні числа
- •5. Алгебраїчні операції над додатними дійсними числами
- •П рактичне заняття № 4
- •Хід заняття
- •1 . Алфавіт математичної мови
- •2. Числові вирази
- •3. Вирази із змінними
- •4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності
- •Числові рівності і нерівності
- •Основні властивості числових рівностей
- •Основні властивості числових нерівностей
- •8. Рівняння з однією змінною
- •9. Нерівність з однією змінною. Рівносильність нерівностей
- •П рактичне заняття № 5
- •План та хід заняття
- •П оняття числової функції
- •Лінійна функція
- •Пряма пропорційність
- •Обернена пропорційність
- •П рактичне заняття № 6
- •План та хід заняття
- •2. Поняття величини
- •3. Адитивно-скалярні величини та їх властивості
- •П рактичне заняття № 7
- •План та хід заняття
- •П рактичне заняття № 13
- •Практичний блок
- •План та хід заняття
- •Література
- •Модульна контрольна робота № 2 Цілі невід’ємні числа. Додавання і віднімання, множення та ділення цілих невід’ємних чисел
- •Модульна контрольна робота № 3 Цілі невід’ємні числа і операції над ними
- •Модульна контрольна робота № 4 Розширення поняття числа. Елементи алгебри. Величини та одиниці їх вимірювання
- •Додаток 4 Критерії оцінювання успішності студентів з дисципліни «Теоретичні основи математики»
- •Система рейтингових балів для різних видів контролю: Теоретичні основи математики
- •Додаток 5. Робоча програма для студентів
- •Література
1 . Поняття дробу
Історично виникнення дробів зв’язано з вимірюванням величин. З’ясуємо, як, наприклад, можуть з’явитися дроби при вимірюванні довжини відрізка.
Візьмемо відрізок а. щоб знайти його довжину візьмемо в якості одиниці довжини відрізок е. При вимірюванні виявилось, що довжина відрізка а більше 3е, але менше 4е, тому її не можна виразити натуральним числом.
Але якщо розбити відрізок е на 4 рівні частини, кожна з яких рівна , то довжина відрізка а виявиться рівною 14 . Якщо ж повернутися до вихідної одиниці е, то ми повинні сказати, що відрізок а складається з 14 відрізків, рівних четвертій частині відрізка е, тобто, говорячи про довжину відрізка а, ми повинні оперувати двома натуральними числами 14 і 4. домовились в такій ситуації довжину відрізка записувати у вигляді , а символ називати дробом.
Означення. Нехай дано відрізок а і одиничний відрізок е, причому відрізок е являється сумою п відрізків, рівних . Якщо відрізок а складається з т відрізків, рівних , то його довжина може бути представлена у вигляді . Символ називають дробом, т і п – натуральні числа.
Повертаючись до нашого прикладу варто сказати, що ми могли взяти, наприклад, восьму частину відрізка е, яка вміщується ціле число раз у відрізок а. тоді його довжина буде рівна . Можна взяти шістнадцяту частину відрізка е, тоді відрізок а буде складатись з 56 таких частин і його довжина буде рівна і т. д.
Означення. Дроби, що виражають довжину одного і того ж відрізка при одиниці довжини е, називають рівними дробами.
Ознака рівності дробів: для того щоб дроби і були рівними, необхідно і досить, щоб .
Основна властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне і те ж натуральне число, то отримаємо дріб, що дорівнює даному.
Скорочення дробів – це заміна даного дробу іншим, що дорівнює даному, але з меншим чисельником і знаменником.
Дріб у якого чисельник і знаменник взаємно прості, називається нескоротним.
Зведення дробів до спільного знаменника – це заміна дробів рівними їм дробами, що мають однакові знаменники. Спільним знаменником двох дробів є спільне кратне їх знаменників, а найменшим спільним знаменником – їх найменше спільне кратне.
Відношення рівності дробів є відношенням еквівалентності.
2. Додатні раціональні числа. Алгебраїчні операції над раціональними числами
Означення. Додатне раціональне число – це множина рівних між собою дробів, а кожен дріб, що належить цій множині, є записом (зображенням) цього числа. Множина додатних раціональних чисел позначається ,
Теорема. Для будь – якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескоротний дріб, що зображує це число.
Означення. Якщо додатні раціональні числа а і b зображуються дробами і , то сумою чисел а і b називається число, що зображується дробом .
Теорема. Для будь – яких додатних раціональних чисел а і b їхня сума а + b існує і при тому єдина.
Властивості операції додавання раціональних чисел:
Комутативність ;
Асоціативність .
Дріб називають правильним, якщо , і неправильним – якщо . Якщо - неправильний дріб, то: , де q – ціла частина дробу (натуральне число), - правильний дріб.
Будь – який неправильний дріб, в якому чисельник не кратний знаменнику, можна зобразити єдиним чином у вигляді суми його цілої частини та правильного дробу з тим самим знаменником, що й даний неправильний дріб. Цю операцію називають виділенням цілої частини з неправильного дробу.
Означення. Нехай а і b – додатні раціональні числа. Тоді а менше b, якщо існує таке додатне раціональне число с, що а+с=b.
Означення. Різницею додатних раціональних чисел а і b називають таке додатне раціональне число с, що с+b=а.
Теорема. нехай , різниця а – b існує тоді і тільки тоді, коли . Якщо різниця існує, то вона єдина.
Означення. Якщо додатні раціональні числа зображені дробами і , то їх добуток є число, що зображується дробом .
Теорема. Для будь – яких додатних раціональних чисел а і b існує добуток аb і при тому єдиний.
Властивості множення:
Комутативність
Асоціативність
Дистрибутивність відносно додавання
Монотонність
Означення. Часткою двох додатних раціональних чисел а і b називається таке число с, що .
Нехай , . Покажемо, що число і є часткою.
За означенням частки а = bc= .
Скоротимо одержаний дріб на натуральне число pq:
.
Отже, частку двох раціональних чисел знаходять за формулою:
а:b= .
Риску дробу в записі можна розглядати як знак дії ділення m: n.
Термін «раціональне число» виник від латинського слова ratio, що в перекладі на українську мову означає «відношення» (частка).