Теория экономических циклов

№78.

t	C	Ia	Iin	y
0	500	100	0	600
1	500	150	0	650
2	535	100	40	675
3	552,5	100	20	672,5
4	550,8	100	-2	648,8
5	534,1	100	-19,0	615,1
6	510,6	100	-26,9	583,7
				

Да, после восстановления динамического равновесия.

№79.

1) В условиях задачи условие равновесия на рынке благ представляется уравнением

y_t = 120 + 0,8y_t–1 + 400 + 0,25 (y_t–1 – y_t–2).

Динамическое равновесие достигается, если y_t–2 = y_t–1 = y_t, т. е. при

y = 120 + 0,8y + 400  y* = 2600.

2) С момента изменения автономных инвестиций динамика НД будет такой:

а)

y₅ = 120 + 0,82600 + 500 = 2700;

y₆ = 120 + 0,82700 + 400 + 0,25(2700 – 2600) = 2705;

y₇ = 120 + 0,82705 + 400 + 0,25(2705 – 2700) = 2685,25;

y₈ = 120 + 0,82685,25 + 400 + 0,25(2685,25 – 2705) = 2663,3.

б)

y₅ = 120 + 0,82600 + 500 = 2700;

y₆ = 120 + 0,82700 + 500 + 0,25(2700 – 2600) = 2805;

y₇ = 120 + 0,82805 + 500 + 0,25(2805 – 2700) = 2890,25;

y₈ = 120 + 0,82890,25 + 500 + 0,25(2890,25 – 2805) = 2953,5.

3)

а) y = 120 + 0,8y + 400  y* = 2600;

б) y = 120 + 0,8y + 500  y* = 3100.

4) Для определения динамики НД, возникающей после экзогенного шока, нужно узнать, в какой из 5 областей рис. 9.2 учебника находится сочетание C_y, в условиях задачи. Построив график функции C_y = –  + 2 или представив ее в табличной форме, можно убедиться, что сочетание C_y = 0,8, = 0,25 находится в области I. Поэтому в случае разового увеличения автономных инвестиций в 5–м году НД после всплеска монотонно возвращается к 2600, а при сохранения автономных инвестиций на уровне 500 НД с 5–го года монотонно увеличивается до 3600.

5.1) y = 120 + 0,6y + 920  y* = 2600,

5.2а)

y₅ = 120 + 0,62600 + 1020 = 2700;

y₆ = 120 + 0,62700 + 920 + 0,25 (2700 – 2600) = 2685;

y₇ = 120 + 0,62685 + 920 + 0,25 (2685 – 2700) = 2647,25;

y₈ = 120 + 0,62647,25 + 920 + 0,25 (2647,25 – 2685) = 2618,9.

5.2б)

y₅ = 120 + 0,62600 + 1020 = 2700;

y₆ = 120 + 0,62700 + 1020 + 0,25 (2700 – 2600) = 2785;

y₇ = 120 + 0,62785 + 1020 + 0,25 (2785 – 2700) = 2832,25;

y₈ = 120 + 0,62832,25 + 1020 + 0,25 (2832.25 – 2785) = 2851,2.

5.3а) y = 120 + 0,6y + 920  y* = 2600,

5.3б) y = 120 + 0,6y + 1020  y* = 2850,

5.4) Сочетание C_y = 0,6,  = 0,25 находится в области II, и поэтому теперь после разового увеличения автономных инвестиций НД возвращается к 2600 через затухающие колебания. Соответственно в случае сохранения автономных инвестиций на уровне 500 после 5–го года НД колебательно увеличивается до 3600.

6) Поскольку теперь  = 1, то после экзогенного толчка НД приобретает незатухающие колебания в случае 2а) около 2600, в случае 2б) около 3600.

7) а) Из условия равновесия на денежном рынке определим ставку процента:

360 = 0,15y_t–1 + 120 – 6i_t  i_t = 0,025y_t–1 – 40  i_t–1 = 0,025y_t–2 – 40.

При такой ставке процента на рынке благ будет равновесие, если выполняется

равенство:

y_t = 120 + 0,8y_t–1 + 0,25 (y_t–1– y_t–2) + 400 – 20(0,025y_t–1– 40)  y* = 1885,7.

б) Определим параметр , определяющий сдвиг разделительной линии, (см. формулу (9.7) учебника): . Значит, уравнение линии, отделяющей монотонную динамику НД от колебаний его величины, теперь имеет вид C_y = –  + 2 . Сочетание C_y = 0,8,  = 0,25 оказываются в области II, и поэтому при разовом увеличении автономных инвестиций НД после всплеска в 5–м году через затухающие колебания возвращается к 2600. В случае сохранения автономных инвестиций на уровне 500 НД после затухающих колебаний примет значение 3600.

в) При сочетании C_y = 0,8,  = 1 экономика оказывается в области III, и поэтому в случае нарушения динамического равновесия возникнут взрывные колебания НД.

г) Определим параметр h, определяющий сдвиг разделительной линии, (см. формулу (9.9) учебника):

.

Поэтому уравнение разделительной линии имеет вид: C_y = –  + 2 .

Сочетание C_y = 0,6,  =1, соответствующее заданным условиям, оказалось в области I; поэтому после увеличения автономных инвестиций НД монотонно устремляется к новому равновесному значению.

№80.

1) Условие равновесия на рынке благ:

y_t = 0,75y_t–1 + 0,6(y_t–1 – y_t–2) + 470 + 200 – 4i_t–1.

Выразим i через y из условия равновесия на денежном рынке:

360 = 0,125y_t–1 + 60 – 5i_t  i_t = 0,025y_t–1 – 60  i_t–1 = 0,025y_t–2 – 60.

Тогда y_t = 0,75y_t–1 + 0,6(y_t–1 – y_t–2) + 470 + 200 – 4(0,025y_t–2 – 60)  y* = 2600.

(рис. 1)

2

C_y = –  + 2( – 0,2)^0,5

C_y = –  + 2( + 0,1)^0,5

) Определим параметр , определяющий сдвиг разделительной линии, (см. формулу (9.7) учебника): . Значит, уравнение линии, отделяющей монотонную динамику НД от колебаний его величины, теперь имеет вид C_y = –  + 2 . Заданное в условие задачи сочетание C_y = 0,75,  = 0,6 оказываются в области II; поэтому равновесие восстановится через затухающие колебания.

3)Для перемещения сочетания C_y = 0,75,  = 0,6 в область I достаточно, чтобы параметр h, определяющий сдвиг разделительной линии, был равен 0,2. Для этого параметры a и b функции предложения денег нужно определить из равенства

0,2 = 4(a – 0,125)/(b +5). Возьмем a = 0,5; b = 2,5. Тогда ставка процента определяется из условия равновесия на денежном рынке:

0,5y_t–1 + 2,5i_t = 0,125 y_t–1 – 5i_t  i_t = –0,05 y_t–1  i_t–1 = –0,05 y_t–2.

Равновесное значение НД определится из равенства:

y_t = 0,75y_t–1 + 0,6(y_t–1 – y_t–2) + 470 + 200 – 4(–0,05y_t–2)  y* = 13400.

После увеличения государственных расходов величина национального дохода монотонно устремляется к новому равновесному значению.

4)

Динамика экономических параметров после увеличения государственных расходов в условиях задания 2)

t	C	Ia	Iin	G	y	i
0	1950	180	0	470	2600	5
1	1950	180	0	550	2680	5
2	2010	180	48	550	2788	7
3	2091	172	64,8	550	2877,8	9,7
4	2158,4	161,2	53,9	550	2923,4	11,9
5	2192,6	152,2	27,4	550	2922,2	13,1
6	2191,6	147,7	-0,8	550	2888,5	13,1
7	2166,4	147,8	-20,2	550	2844,0	12,2
8	2133,0	151,1	-26,7	550	2807,4	11,1
9	2105,6	155,6	-21,9	550	2789,2	10,2
10	2091,9	159,3	-10,9	550	2790,3	9,7
						

(рис. 2)

Динамика экономических параметров после увеличения государственных расходов в условиях задания 2)

t	C	Ia	Iin	G	y
0	10050	2880	0	470	13400
1	10050	2880	0	550	13480
2	10110	2880	48	550	13588
3	10191	2896	64,8	550	13701,8
4	10276,4	2917,6	68,3	550	13812,2
5	10359,2	2940,4	66,3	550	13915,8
6	10436,8	2962,4	62,1	550	14011,4
7	10508,6	2983,2	57,4	550	14099,1
8	10574,3	3002,3	52,6	550	14179,2
9	10634,4	3019,8	48,1	550	14252,3
10	10689,2	3035,8	43,9	550	14318,9
					

(рис. 3)

№81. В этом случае уравнение динамики национального дохода

имеет вид

y_t = C_yy_{t 1} + (y_t–1 – y_t–2) – y_t–1 + A_t,

где A_t – все независимые от y слагаемые. Тогда y_t = (C_y + b –)y_t–1 + by_t–2.

Уравнение разделительной линии C_y =  –  + 2^0,5.

Поскольку разделительная линия смещается вверх, сохраняя максимальное зна­чение при  = 1, то область устойчивого равновесия не изменится, так как C_y  1, но область монотонного (неколебательного) восстановления уменьшится на заштрихованную площадь.

(рис. )

№82.

1) Объем годовых инвестиций равен доле капитала в НД: I_t = (1 – _t) y_t = K_t.

Доля труда в НД: _t = w_tN_t/y_t = w_t/a_t, где a_t  y_t/N_t – производительность труда. Тогда . В условиях задачи = 0,02 и = 1,2v_t –1; поэтому

= 1,2v_t – 1,02. (1)

Поскольку N_t/N_t*  v_t, то . По условию задачи = 0,01. Из определения производительности труда следует, что .

Так как , то – 0,02.

В свою очередь  K_t/K_t = (1 – _t)y_t/K_t = 0,25(1–_t). Поэтому

0,25(1 – _t) – 0,02 – 0,01 = 0,22 – 0,25_t. (2)

При ₀ = 0,885 и v₀ = 0,85 из системы уравнений (1) и (2) определяется динамика

искомых показателей (см. таблицу и рисунок).

t		v	t		v
0	0,885	0,85	12	0,889	0,856
1	0,885	0,849	13	0,896	0,854
2	0,884	0,848	14	0,901	0,851
3	0,882	0,847	15	0,902	0,846
4	0,879	0,847	16	0,898	0,842
5	0,875	0,847	17	0,889	0,838
6	0,872	0,848	18	0,876	0,836
7	0,870	0,850	19	0,862	0,837
8	0,870	0,852	20	0,848	0,841
9	0,872	0,854	21	0,839	0,847
10	0,876	0,856	22	0,837	0,856
11	0,882	0,857	23	0,843	0,865

(рис. )

2) Равновесные значения v и  определяются на основе приравнивания левых частей

уравнений (1) и (2) к нулю. Тогда 1,2v_t = 1,02 и 0,25_t = 0,22  v* = 0,85; * = 0,88.