Численное решение дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y).

1. Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

• вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)

y1=y0+h*f(x0,y0) x1=x0+h	Расчетные формулы для 1-го шага
yi+1=yi+h*f(xi,yi) xi+1=xi*h	Расчетные формулы для i-го шага

• вариант 2 (графический)

	y1=y0+f(x0,y0)*h; x1=x0+h yi+1=yi+h*f(xi,yi)
k1=h*f(xi,yi) yi+1=yi+ki xi+1=xi+h	Аналогично варианту 1

Следующие расчетные формулы приводятся без вывода.

2. Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

у_i+1=у_i+hf(x_i+h/2, y_i+hf(x_i,y_i)/2),

x_i+1=x_i+h.

3. Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

у_i+1=у_i+(h/2)[f(x_i,y_i)+f(x_i,+h,y_i+hf(x_i,y_i))],

x_i+1=x_i+h.

4. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

у_i+1=у_i+(k₁+4k₂+k₃)/6,

k₁=hf(x_i, y_i),

k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2),

k₃=hf(x_i+h, y_i+2k₂-k₁),

x_i+1=x_i+h.

5. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

у_i+1=у_i+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6,

k₁=hf(x_i,y_i),

k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2),

k₃=hf(xi+h/2, y_i+k₂/2),

k₄=hf(x_i+h, y_i+k₃),

x_i+1=x_i+h,

где у_i+1,у_i - значения искомой функции в точках x_i+1, x_i соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x₀, y=y₀.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x² при y|_x=0 =1. Определить значение функции при x_k=1, h=1.

Решение задачи приведено в таблице.

Таблица

N	Этап программирования	Выполнение
1.	Постановка задачи	Решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить знач. функции при xk=1, h=1
2.	Математическое описание	Аналитическое решение. dy/dx=x2 y=1+x3/3, yk=y(1)=1+1/3=4/3. Метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера 1. Модифицированный метод Эйлера 2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
3.	Разработка структограммы	Выполнить самостоятельно
4.	Написание программы	Выполнить самостоятельно
5.	Отладка и получение результатов	Выполнить самостоятельно

Контрольное задание. Лабораторная работа 5.

Численное решение дифференциальных уравнений

Задание.

1. Решить дифференциальное уравнение аналитически и численно указанными методами для двух значений шага интегрирования h=0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы.

2. Построить графики функций y(x) (5 графиков).

Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице

Оформление результатов расчета

Таблица

х	Решения уравнения, у(x)
	Аналит	Численное
		метод 1		Метод 2
		h=0.01	h=0.001	h=0.01	h=0.001

Варианты уравнений и методов их решения

Таблица

Вар.	Вид уравнения	Метод	Вар.	Вид уравнения	Метод
1	у'=(xy2+x)/(y-x2y)	1,4	14	у'=cos(t)-y	3,5
2	у'=(1-2x)/y2	2,4	15	y'=exp(bx)-ay	1,4
3	у'=(1-x2)/xy	3,4	16	У'=-2y/(y2-6x)	2,4
4	у'=(y2-y)/x	1,5	17	у'=1/(2x-y2)	3,4
5	y'=(1+y)/(tg(x)	2,5	18	у'=sec(x)- y tg(x)	1,5
6	у'=exp(x)-1	3,5	19	y'=(exp(x)-y)/x	2,5
7	y'=y ln(y)/sin(x)	1,4	20	у'=1+y/(x(x+1))	3,5
8	у'=(1+y2)/(1+x2)	2,4	21	у'=(y+yx2-x2)/(x(1+x2))	1,4
9	у'=4x-2y	3,4	22	у'=cos(x-y)	2,4
10	у'=x exp(-x2)-2xy	1,5	23	у'=3x-2y+5	3,4
11	у'=2x-y	2,5	24	у'=sin(x)-y	1,5
12	у'=exp(-x)-2y	3,5	25	у'=exp(x)-y	2,5
13	у'=exp(-x)-2x	1,4	26	у'=exp(2x)-1	3,5

Примечание. Значение параметров a, b и начальные условия y|_x=x0=y₀ выбрать cамостоятельно.

Содержание отчета:

1. Название, цель работы и задание.

2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.

3. Результаты расчета, пять графиков зависимости y(x) и выводы по работе.