Решение нелинейных уравнений
Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.
Метод перебора. При решении нелинейного уравнения методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)>0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x=x+h). Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x,x+h] существует решение уравнения. Структограмма метода приведена на рисунке.
Пока F(x)∙F(x+h)>0
Рис. Структограмма для метода
перебора
x=x+h
Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙F(c)<0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу(a=c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b-a|>ε. Структограмма решения нелинейных уравнений методом половинного деления приведена на рисунке.
-
Пока |b-a|>ε
c=(a+b)/2
F(a)∙F(c)<0
да
нет
b=c
a=c
Рис. Структограмма для метода половинного деления
Метод хорд. При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)∙F(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)|< ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (попытайтесь получить формулу самостоятельно).Структограмма метода хорд показана на рисунке.
-
Пока |F(c)|>ε
F(a)∙F(c)<0
да
нет
b=c
a=c
Рис. Структограмма для метода хорд
Метод касательных. При решении нелинейного уравнения методом касательных задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Затем в точке(x0,F(x0)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x1. В точке (x1,F(x1)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x2 и т.д. Указанную процедуру повторяем пока |F(xi)| > ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x0)∙F''(x0)>0. Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.
Пока |F(x)|> ε
Рис. Структограмма для
метода касательных
Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(xi) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных . Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.
Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Первое приближение решения x1 находим из выражения x1=f(x0), второе - x2=f(x1) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)|<1. Структограмма метода итераций показана на рис.
-
Пока |f(xi)|> ε
Рис. Структограмма для метода итераций
xi+1 =f(xi)
Контрольное задание. Лабораторная работа 4.
Решение нелинейных уравнений.
Задание. Решить нелинейное уравнениеуказанными в табл. методами, предварительно определив интервал [a,b], на котором существует решение уравнения. Сделать проверку решения.
Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице.
Таблица
Варианты уравнений и методов их решения
Вар. |
Уравнение |
Методы решения |
1 |
x=exp(-x) |
Перебора и половинного деления |
2 |
x=cos(x) |
перебора и хорд |
3 |
х=x2-1 |
Перебора и касательных |
4 |
x=2exp(-x) |
Перебора и хорд-касательных |
5 |
x=exp(-3x) |
Перебора и половинного деления |
6 |
x=3cos(x) |
перебора и хорд |
7 |
x=exp(-3x2) |
Перебора и касательных |
8 |
x=tg(x) |
Перебора и хорд-касательных |
9 |
x=cos(2x) |
Перебора и половинного деления |
10 |
x=tg(2x)-1 |
перебора и хорд |
11 |
x=exp(-3x)+1 |
Перебора и касательных |
12 |
x=exp(-x2) |
Перебора и хорд-касательных |
13 |
x= ln(x)+2 |
Перебора и половинного деления |
14 |
x=exp(-3x) |
перебора и хорд |
15 |
x2=exp(-x2) |
Перебора и касательных |
16 |
x=2exp(-3x)+1 |
Перебора и хорд-касательных |
17 |
x=exp(-x2)+2 |
Перебора и половинного деления |
18 |
x= ln(x)+3 |
перебора и хорд |
19 |
x=3exp(-3x) |
Перебора и касательных |
20 |
x2=exp(-x2)-1 |
Перебора и хорд-касательных |
21 |
x=exp(-3x2) |
Перебора и половинного деления |
22 |
x=tg(x) |
перебора и хорд |
23 |
x=cos(2x) |
Перебора и касательных |
24 |
x=tg(2x)-1 |
Перебора и хорд-касательных |
25 |
x=exp(-3x)+1 |
Перебора и половинного деления |
Содержание отчета:
Название, цель работы и задание.
Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
Результаты расчета, проверка и выводы по работе.