- •Оглавление
- •Задача Коши
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов Метод последовательного дифференцирования.
- •Метод неопределенных коэффициентов.
- •Метод последовательных приближений
- •Метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта
- •Метод Милна
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Метод прогонки
- •Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Метод Галеркина
- •Метод коллокации
- •Примеры решений Примеры реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений
- •Литература
Метод последовательных приближений
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка y' = f(x,y) с начальным условием y(x0) = y0.
Метод последовательных приближений состоит в том, что решение y(x) получают как педел последовательности функций yn(x) , которые находятся по рекуррентной формуле . Доказано, что если правая часть f(x,y) в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условию Липшица по y: , то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения yn(x) сходятся на некотором отрезке [x0,x0 + h] к решению задачи. Если f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности приближенного решения yn(x) на отрезке [x0,x0 + h] дается неравенством , где , а число h определяется из условия . В качестве начального приближения y0(x) можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению. Иногда , например, выгодно в качестве y0(x) брать приближенное решение уравнения , полученное в виде частичной суммы степенного ряда.
Метод Эйлера
Метод Эйлера относится к численным методам ,дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции y(x). Рассмотрим дифференциальное уравнение y' = f(x,y) с начальным условием y(x0) = y0. Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек xi = x0 + ih(i = 0,1,2,...). В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам yi + 1 = yi + hf(xi,yi)(i = 0,1,2,...). При этом искомая интегральная кривая y=y(x) , проходящая через точку M0(x0,y0), заменяется ломанной M0M1M2... с вершинами ; каждое звено MiMi + 1 этой ломанной , называемой ломанной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку Mi.
Если правая часть уравения в некотором прямоугольнике удовлетворяет условиям , , то имеет место следующая оценка погрешности: , где y(xn)-значение точного решения уравнения при x = xn, , а yn- приближенное значение, полученное на n-м шаге.
На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет : расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так: .
Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка
с начальными условиями y(x0) = y0, z(x0) = z0.
Приближенными значения и вычисляются последовательно по формулам
Метод Рунге-Кутта
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения y' = f(x,y) с начальным условием y(x0) = y0.
Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке xi. По методу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения yi + 1 в следующей точке xi + 1 = xi + h производятся по формулам
,
где
.
Метод Милна
Пусть для уравнения y' = f(x,y) кроме начального условия y(x0) = y0 известен "начальный отрезок", то есть значения искомой функции y(xi) = yi в точках xi = x0 + ih,(i = 1,2,3)- их можно найти одним из методов, изложенных выше. Последующие значения при i=4,5,... определяются следующим образом. Для предсказания используется первая формула Милна . Используя , находим и производим уточнение (коррекцию) по второй формуле Милна . Абсолютная погрешность εi более точного значения приближенно определяется по формуле . Эта формула позволяет на каждом шаге контролировать точность полученного результата. Если искомое решение требуется найти с точностью до ε и окажется, что ,то можем положить и перейти к вычислению yi + 1.В противном случае следует уменьшить шаг h.
Метод Милна можно использовать для приближенного решения систем дифференциальных уравнений первого порядка,ма также уравнений высших порядков, которые предварительно следует преобразовать в такие системы.