- •Содержание
- •4. Численные квадратуры 4
- •4. Численные квадратуры
- •4.1. Введение
- •4.2. Одномерные квадратурные правила и формулы
- •4.3. Формулы прямоугольников
- •4.4. Формула трапеций
- •4.5. Метод Ньютона-Котесса
- •4.6. Формула Симпсона (метод парабол)
- •If Odd(k) then {Проверка k на нечетность}
- •4.8. Формула Уэддля (Веддля)
- •4.10. Метод Чебышева
- •4.11. Метод Гаусса
- •4.12. Переход от одного отрезка к другому
- •4.13. Квадратурные правила Гаусса-Кронрода
- •4.14. Интегрирование таблично заданных функций
- •4.15. Эрмитова кубическая квадратура
- •4.16. Двойные и тройные интегралы
- •Литература
4.12. Переход от одного отрезка к другому
Программы, в которых реализованы квадратурные правила, обычно позволяют задавать концы отрезка интегрирования произвольно . Однако в таблицах, правила приведены для какого-либо определенного отрезка, чаще всего или . Приближенное значение интеграла для какого-либо другого отрезка будет иметь вид .
В этом случае нужно с помощью замены переменной осуществить переход от переменной , принадлежащей отрезку ( где возможно ) к переменной , принадлежащей отрезку . Тогда формула примет вид
Для отрезка она упростится
.
Существует много преобразований при переходе от переменной к переменной и преобразовании отрезка к отрезку , но приведенное выше – самое простое в силу своей линейности.
4.13. Квадратурные правила Гаусса-Кронрода
Вычисление определённых интегралов находит широкое применение как в математических, так и в прикладных задачах. На практике, как правило, используют приближённые квадратурные формулы. Одной из наиболее известных и востребованных при разработке пакетов компьютерной математики (MATLAB, Mathematica) является квадратурная формула Гаусса-Кронрода [1-6].
При построении квадратурных формул типа Гаусса-Кронрода используются различные системы ортогональных многочленов [1-4, 6]. Рассмотрим систему ортогональных многочленов Якоби . Нетрудно доказать следующее свойство симметрии этих многочленов.
ТЕОРЕМА. Для многочленов Якоби , ортогональных на с весовой функцией ( , ), выполняется .
Для весовой функции вида при эта теорема обобщает доказанное в [7] утверждение (Теорема 1.3).
В настоящей работе показано, что для базовой формулы типа Гаусса (построенной с помощью многочленов Якоби), используя указанное свойство симметрии, можно построить две парные симметричные квадратурные формулы типа Гаусса-Кронрода.
Не теряя общности, будем рассматривать промежуток интегрирования . Пусть построена базовая квадратурная формула типа Гаусса
, (1)
где весовые коэффициенты , – нули многочлена Якоби с единичным старшим коэффициентом . Тогда по найденным значениям весовых коэффициентов и узлам можно построить две парные симметричные формулы типа Гаусса-Кронрода (равного алгебраического порядка точности):
, (2)
, (3)
где – нули полинома Кронрода , который строится по аналогии с методом, изложенным в [4]. Коэффициенты многочлена определяются с помощью взвешенных степенных моментов по формулам
… , а весовые коэффициенты вычисляются по формуле .
Заметим, что правые части в формулах (2) и (3) в общем случае при дают различные приближенные значения интеграла, а при – равные. Получение двух приближенных значений интеграла с помощью одного набора весовых коэффициентов и узлов дает определенные вычислительные и алгоритмические преимущества при использовании формул (2) и (3).
В [4] указано, что формулы (1) и (2)–(3) при некоторых ограничениях на весовую функцию можно применять при вычислении интегралов вида , предварительно выделив весовую функцию и положив .
В 1965 году задачу получения оценок погрешности квадратурных правил Гаусса исследовал советский специалист в области вычислительной математики А. С. Кронрод. Идея Кронрода состояла в построении, наряду с правилами Гаусса, нового правила, узлами которого были бы как все узлы правила Гаусса ( ), так и некоторые другие точки. Кронрод предложил строить правила вида
.
Отметим, что и имеют общих узлов. Кроме того, имеет дополнительных узлов и новые веса . Два правила ( , ) называют парой Гаусса-Кронрода.
Таблица весов для пары Гаусса-Кронрода (7,15) для отрезка .
-
Узлы
7-точечтого правила Гаусса
Веса
-
Узлы
15-точечтого правила Крондора
Веса
Оценка погрешности правила Гаусса-Кронрода
.
Пара Гаусса-Кронрода вместе с приведенной оценкой погрешности сейчас представляет собой один из самых эффективных методов вычисления интегралов общего вида. Пара ( , ) является стандартной.