- •Содержание
- •3. Интерполялия, экстрополяция, аппроксимация, сглаживание 5
- •3. Интерполялия, экстрополяция, аппроксимация, сглаживание
- •3.1. Введение
- •3.2. Интерполяция
- •3.2.1. Полиномиальная интерполяция
- •Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
- •3.2.2. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера
- •3.2.3. Линейная интерполяция
- •3.2.4. Квадратичная интерполяция
- •3.2.5. Построение других базисных функций
- •3.2.6. Многочлены Тейлора
- •3.2.7. Лагранжева интерполяция
- •I, j, n : Integer;
- •3.2.8. Ошибки полиномиальной интерполяции
- •3.2.9. Кусочно-линейная интерполяция
- •Var X,y : Array[0..N] of Real;
- •I,j : Integer;
- •Var f:Real;
- •3.2.10. Кусочно-кубическая интерполяция
- •3.2.11. Эрмитов кубический интерполянт
- •3.2.12. Кубические сплайны
- •Var r, s, l : Vect;
- •Var l, I, j : Integer;
- •1 : Begin
- •0 : Begin
- •Var XX:RealType;
- •3.2.13. Кривые Безье. Сплайны
- •3.2.14. Итерационный способ вычисления интерполяционного полинома (способ Эйткена)
- •3.2.15. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •3.2.16. Интерполяционный многочлен Гаусса
- •3.2.17. Интерполяционный многочлен Стирлинга
- •3.2.18. Интерполяционный многочлен Эверетта
- •3.3. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов
- •3.3.1. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов
- •3.3.2. Аппроксимация данных с другими нормами
- •3.3.3. Аппроксимация данных многочленом заданной степени
- •Var X,y:array[1..Nmax] of real;
- •I,n:integer;
- •Литература
- •Простейшие способы интерполяции
- •Интерполяционные полиномы
- •Сплайн-интерполяция
- •Тригонометрическая интерполяция
- •Неклассические методы интерполяции
- •Реконструкция функций
- •Всюду гладкая интерполяция
Интерполяционные полиномы
Алгебраическим интерполяционным многочленом называется многочлен
степени не выше , принимающий в точках значения
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
Введем понятие разностного отношения. Разностным отношением нулевого порядка в точке назовем значение . Разностное отношение первого порядка определяется как
А n+1-го порядка - рекурсивно через разностное отношение n-го порядка:
Тогда можно показать, что интерполяционный многочлен может быть записан в следующей форме:
TODO
Сплайн-интерполяция
Основная идея сплайн-интерполяции функций - построение кусочно-полиномиальной интерполяции, при которой остается непрерывной функция и несколько ее первых производных.
Предположим, мы хотим получить функцию, непрерывную вместе со своей первой производной.
Тогда для начала построим на заданной таблице кусочно-линейную интерполяцию . Это непрерывная функция, производная которой в каждом узле имеет скачок
Теперь построим полином 3-ей степени такой, что его производная точке :
А значения в точках и равны 0.
Если теперь на отрезке к функции прибавить , получившаяся функция будет непрерывна в вместе со своей первой производной.
Осталось провести аналогичную операцию на всех остальных отрезках , учитывая на каждом следующем отрезке производную уже построенной функции на предыдущем отрезке.
Тригонометрическая интерполяция
Другим важным видом интерполяции является интерполяция функции f тригонометрическим полиномом, называемой еще интерполяцией полиномом Фурье:
Интерполирующая функция представляет собой сумму конечного числа гармоник ряда Фурье.
Пусть есть функция с периодом , т.е. для любого :
Пусть эта функция задана таблицей на периодической сетке:
своими значениями
Оказывается, при правильном выборе , существует только один полином .
Неклассические методы интерполяции
В различных приложениях используются различные методы интерполяции, не сводящиеся к классическим. Рассмотрим некоторые из них.
Реконструкция функций
Для реконструкции разрывных функций часто применяют так называемую minmod-реконструкцию. Суть ее в следующем:
Распределение функции на отрезке полагается линейным, а коэффициент наклона выбирается как , где
Всюду гладкая интерполяция
Есть еще такая всюду гладкая интерполяция: