- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19. Волновое уравнение
- •§ 20. Производная оператора по времени
- •§ 21. Интегралы движения в квантовой механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гейзенберга
- •§ 24. Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Потенциальный барьер конечной высоты
- •§ 29. Вид операторов и в декартовых и сферических координатах
- •§ 30. Коммутационные соотношения с оператором
- •§ 31. Собственные функции и собственные значения операторов и
- •§ 32. Собственный механический момент (спин)
- •§ 33. Операторы и и их свойства
- •§ 34. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 35. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 36. Уравнение Паули Мы писали волновое уравнение в виде
- •§ 37. Принцип тождественности
- •§ 38. Оператор перестановки и его свойства
- •§39. Симметричное и антисимметричное состояния
- •§40. Обменное взаимодействие
- •§41. Основное состояние атома гелия
- •§42. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
- •§43. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
- •§44. Критерий применимости теории возмущений
- •§45. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •Задачи по курсу «Квантовая статистика» (Часть I) и их решение
- •Вопросы для экзамена по квантовой механике (программа минимум).
§ 29. Вид операторов и в декартовых и сферических координатах
По определению .
В координатном представлении
Введем безразмерный оператор такой, что
.
Используем
Таким образом для оператора
.
.
.
.
Переход из декартовых координат в сферические координаты:
Переход из сферических в декартовы координаты
Также используем:
(29.1)
Переход при имеет вид
.
Тогда в общем виде
.
Из (29.1) имеем
.
Теперь найдем:
Таким образом
Аналогично имеем
§ 30. Коммутационные соотношения с оператором
Раньше было получено:
и также
,
где - скалярный оператор.
Рассмотрим оператор .
Найдем коммутатор
или
из этого имеем
Найдем произведение
Аналогично
Теперь для
§ 31. Собственные функции и собственные значения операторов и
Для соотношения были получены ранее:
Т. к. операторы и - коммутируют
они обладают общим базисом.
Было показано, что
,
тогда его собственная функция удовлетворяет уравнению
Произведем разделение переменных
В этом случае, запишем
Здесь можно рассматривать как множитель, т. к. оператор на нее не действует.
Ранее было показано
Усредним
Здесь мы имеем равенство только тогда, когда m=0 и .
Таким образом получаем ограничение на среднее
и одновременно измеримы, т. к. они коммутируют. Это значит, что они одновременно измеримы и обладают общим базисом собственных функций. Тогда
.
Отсюда
,
Рассмотрим теперь соотношение
Подействуем этим оператором на функцию
для максимального , т. е.
.
Тогда
Так как - есть собственная функция оператора , то имеем
.
Обозначив
имеем
Это задача на собственные функции и собственные значения для оператора . Максимальное собственное значение для есть , но у нас . Таким образом .
Подействуем оператором
Тогда
Теперь
- орбитальное число.
Теперь
.
Выясняется, что
.
Здесь - полином Лежандра.
Условие нормировки для записанных шаровых функций
Рассмотрим величину орбитального момента:
Тогда
При переходе к классической механике: . Определим величину предела .
В классической механике существует величина момента импульса, тогда при мы не должны получать 0. Учтем произвол . Таким образом возникает . При этом
§ 32. Собственный механический момент (спин)
Рассмотрим Na. У него есть желтая линия . Возникает при переходе с уровня 3p на 3s.
Первоначально ее длина была 5892
Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.
Возникла идея расщепления уровня 3p на два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.
Их длины: 5896 и 5890 .
В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.
У электрона спиновое число s= .
Впоследствии Паули ввел спин в теорию.
Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .
Составная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу в целом и приписать ей момент , который описывает орбитальное движение частицы как целого.
Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочастиц .
Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.
Можно рассматривать 2 момента:
. Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)
Частица сама движется по некоторой траектории.
У частицы есть еще квантовое число , характеризующее собственный механический момент.
Вводят оператор собственного механического момента:
По аналогии
Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.