Интервальная оценка коэффициента корреляции
корреляционная регрессия уравнение математический
При
построении доверительного интервала
для неизвестного коэффициента
корреляции
используется
специальная функция - 
-преобразование
Фишера (гиперболический арктангенс)
выборочного коэффициента корреляции r:
.
-
возрастающая нечетная функция: z(-r)
= -z(r).
Распределение
вероятностей значений 
приближается
(тем более точно, чем больше объем
выборки n)нормальным
распределением вероятностей 
с
параметрами:
и 
.
Статистика 
имеет
асимптотическое стандартное нормальное
распределение 
.
Асимптотически
точный доверительный интервал
надежности 
для
нормированного отклонения z:
,
где 
-
квантиль уровня 
распределения
,
т.е. корень уравнения 
.
Доверительный
интервал для математического ожидания 
:
.
Величиной 
в
выражении 
можно
пренебречь, принимая во внимание, что
она при 
есть
бесконечно малая более высокого порядка
в сравнении с 
.
Доверительный
интервал для гиперболического арктангенса
коэффициента корреляции 
:
.
Решение относительно данного двойного неравенства приводит к искомому доверительному интервалу для коэффициента корреляции:
,
с
границами, определяемыми как значения
гиперболического тангенса 
для
значений 
,
равных соответственно 
и 
.
Функция 
задает
преобразование, обратное
-преобразованию
Фишера. Следовательно, 
.
Этапы определения ди(доверительного интервала) для коэффициента корреляции
- находится выборочный коэффициент корреляции r;
-
выполняется прямое преобразование
Фишера значения r: 
;
-
выбирается квантиль 
,
исходя из условия 
;
-
вычисляются значения 
и 
;
- с помощью обратного преобразования Фишера находятся границы ДИ:
и 
.
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии
Их построение осуществляется в соответствии с общей схемой. При этом используются статистики:
; 
,
имеющие
распределение Стьюдента с числом
степеней свободы, равном 
.
;
,
где 
-
корень уравнения 
.
66. Трехмерная корреляционная модель. Частные и множественные коэффициенты корреляции и детерминации, их свойства.
№1
Частный коэффициент корреляции
,
где 
-
минор элемента 
матрицы 
,
т.е. определитель матрицы, получающейся
из корреляционной матрицы удалением 
-ой
строки и 
-го
столбца.
Свойства частного коэффициента корреляции
обладает
всеми свойствами парного коэффициента
корреляции 
,
т.к. является коэффициентом корреляции 
для
их условного двумерного распределения.
В отличие от парного коэффициента
корреляции
,
на величине которого сказывается не
только влияние переменных
друг
на друга, но и воздействие
остальных 
переменных,
частный коэффициент корреляции
позволяет
характеризовать тесноту связи между
признаками
в
«чистом» виде, исключая при анализе
зависимости влияние других переменных.
Если парный коэффициент корреляции
больше
соответствующего частного коэффициента
,
то можно заключить, что остальные
рассматриваемые переменные усиливают
взаимосвязь между изучаемыми величинами 
.
Уменьшение значения парного коэффициента
корреляции, в сравнении с отвечающим
ему частным коэффициентом корреляции,
свидетельствует об ослаблении связи
между исследуемыми величинами
в
результате воздействия других переменных.