Примеры решения задач Задача 1
На
стеклянной подложке нанесена тонкая
металлическая пленка. Пучок лазерного
излучения фокусируется на поверхности
пленки, нагревая ее и расплавляя в очень
маленькой (микронной) области. Под
действием лазерного излучения в
расплавленной области пленки образуется
микроскопическое отверстие (см. рис.
2.4.). На поверхности действуют силы
поверхностного натяжения. Свободная
энергия поверхностей раздела сред 0, 1,
2 (воздух, пленка, подложка) на единицу
площади поверхности:
,
,
.
Определить, что произойдет с этим
отверстием после его возникновения.
Рис. 2.4. К задаче 1.
Решение
Для
того, чтобы определить, будет отверстие
увеличиваться или уменьшаться, необходимо
определить изменение энергии системы
в зависимости от радиуса отверстия.
Любая система будет стремиться к такому
состоянию, при котором ее энергия
наименьшая. Определим величину
,
на которую изменилась поверхностная
энергия системы пленка -
подложка
после образования в ней отверстия
радиуса r.
Суммируя свободную энергию по
образовавшимся (или ликвидировавшимся)
при получении отверстия поверхностям,
получим:
Здесь
Подставив значения
в выражение для
,
получим:
Для
исследования функции
найдем
ее производную:
Определим критические точки:
Определим
знак второй производной функции
в точке
:
,
т.к. величина
представляет собой поверхностное
натяжение пленки на подложке. Таким
образом,
–
точка максимума. График функции
приведен на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Зависимость поверхностной энергии системы пленка - подложка от радиуса образовавшегося в пленке отверстия.
Итак,
если в расплавленной пленке образовалось
отверстие радиуса
,
то
оно будет схлопываться, а если радиуса
–
расти (до начала кристаллизации расплава).
Задача 2
На поверхности пластины происходит осаждение вещества из пара (например, при лазерном осаждении пленки). Молекулы (атомы) пара соединяются друг с другом, образуя зародыши будущей пленки, так называемые кластеры. В зависимости от энергии кластера, он стремится распасться или расти, образуя пленку. Размер кластера определяет зернистость будущей пленки. Определить наименьший размер образующихся кластеров.
Решение
При образовании кластера из частиц пара происходит изменение энергии системы кластер - подложка на величину (см. рис. 2.6)
где V – объем кластера, G – удельная энергия объемообразования (определяет связь частиц в кластере). Остальные обозначения как в предыдущей задаче.
Рис. 2.6. К задаче 2.
Значения
,
и V
зависят от геометрической формы и
размеров кластера. Форма кластера
определяется физическими свойствами
материалов подложки и наносимой пленки.
В общем случае (для произвольной формы
кластера)
,
,
,
где
,
,
— коэффициенты, зависящие от формы
кластера, Таким образом:
.
Для исследования функции найдем ее производную:
.
Критические точки:
1)
.
2)
.
При
(когда осаждение возможно)
–
точка максимума. Значение
(точка минимума) не важно для нас при
решении настоящей задачи. Значение
определяет размер критического кластера
:
при образовании кластера размером
он является неустойчивым и распадается,
при
кластер устойчив, он стремится расти.
Величина
определяет минимальную зернистость
образующейся пленки. График зависимости
представлен на рис. 2.7.
Рис. 2.7. Зависимость энергии системы кластер - подложка от размера
кластера.