- •Оглавление
- •Введение
- •Раздел 1 применение методов интегрирования функции в задачах лазерных технологий Теоретические сведения
- •Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование функций нескольких переменных
- •Интегрирование в других системах координат
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 2 применение методов исследования функции на экстремум в задачах лазерных технологий Теоретические сведения
- •Возрастающая и убывающая функции
- •Экстремумы функции
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 3
- •Применение методов исследования интеграла вероятностей в задачах лазерных технологий
- •Теоретические сведения
- •Интеграл вероятностей и дополнительный интеграл вероятностей
- •2. Кратные интегралы вероятностей
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 4
- •Применение методов исследования линейных дифференциальных уравнений в задачах
- •Лазерных технологий
- •Теоретические сведения
- •Однородные и неоднородные уравнения
- •Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
- •3. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Задача 5
- •Решение
- •Задача 6
- •Уравнение теплопроводности. Закон Фурье
- •2. Длина теплопроводности
- •3. Частные случаи уравнения теплопроводности
- •4. Граничные и начальные условия
- •5. Источник
- •6. Уравнение теплопроводности в других системах координат
- •7. Уравнение теплопроводности при движущемся источнике тепла
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 5
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 6 применение методов исследования преобразования лапласа в задачах лазерных технологий Теоретические сведения
- •1. Преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа
- •2. Основные свойства преобразования Лапласа
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел 7
- •Применение метода источников
- •В задачах лазерных технологий
- •Теоретические сведения
- •Сущность метода и элементарные решения
- •2. Основные методики определения совокупности элементарных источников
- •Примеры решения задач Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задача 4
- •Решение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список рекомендуемой литературы
5. Источник
Нагревание тела может происходить как под действием объемного источника тепла (расположенного внутри тела), так и под действием поверхностного источника (расположенного на его поверхности). При падении излучения на поверхность тела его поглощение, как правило, определяется законом Бугера, согласно которому
где q – плотность мощности излучения на расстоянии x от поверхности, – показатель поглощения, δ – глубина проникновения света в вещество (расстояние, на котором плотность мощности излучения уменьшается в е раз). Итак, величина δ характеризует размер светового источника по глубине. Поскольку распределение температуры характеризуется величиной , то при источник тепла можно считать поверхностным, а при – источник объемный. При облучении металлов глубина проникновения света составляет м, так что для наносекундных и более длинных импульсов, как и для непрерывного излучения, источник тепла в металле всегда можно считать поверхностным. Для диэлектриков в каждом конкретном случае необходмо рассматривать соотношение глубины проникновения излучения и длины теплопроводности. Рассмотрим подробнее случаи поверхностного и объемного источников тепла.
1) – источник поверхностный. В этом случае математически задача ставится следующим образом: уравнение теплопроводности – однородное ( – объемные источники отсутствуют). На границе облучаемой поверхности (например ) действует поверхностный источник тепла, что учитывается в граничном условии как тепловой поток внутрь тела:
,
где – плотность мощности падающего излучения, R – коэффициент отражения.
2) – источник объемный. Уравнение теплопроводности неоднородное. На границе поверхностный источник отсутствует:
Определим объемную плотность мощности источника Q. Рассмотрим в теле элементарный объем на расстоянии х от облучаемой поверхности.
Рис. 5.1. К рассмотрению объемного источника.
Мощность излучения, поступающая в этот объем: . Мощность, выходящая из него: . Мощность, остающаяся в нем: . Мощность на единицу объема (объемная плотность мощности источника): . Переходя в пределе к бесконечно малым приращениям, получим:
.
Подставив значения , получим:
.
Заметим, что в ряде случаев тепловой источник можно считать объемным даже если глубина проникновения излучения очень мала . Такая ситуация имеет место, когда распределение температуры по толщине тела близко к равномерному, в частности, для тонких пленок и пластин, толщина которых , и тонких проволок диаметром . При этом поглощенную энергию принимают равномерно распределенной по толщине тела, например, тепловой источник в пленке в правой части уравнения теплопроводности (5.6) , где – плотность мощности излучения, падающего на поверхность, А – поглощательная способность.
Аналогично, сток энергии (отрицательный источник, например, затраты тепла на плавление или теплоотвод в окружающую среду) для тонких пленок и проволок тоже может быть математически принят объемным. В качестве примера рассмотрим теплоотвод в окружающее пространство при нагреве тонкой пластины. Тепловой поток с единицы площади поверхности , где γ – коэффициент теплоотвода, Т – температура пластины, – температура среды. Общая мощность потерь , где S – площадь одной поверхности пластины. Таким образом,
. (5.10)