1.7. Дослідження метричних властивостейk-значних кодів

1.7.1. Метричні властивості систематичних кодів. Як показав К. Шеннон [1], завадостiйкiсть передачi повiдомлення на вiддаль забезпечується зі заданою мiрою ймовiрностi шляхом уведення надлишковостi, причому для виправлення r помилок k-значний символ потрібно повторити m = 2r+1 разів. Звiдси необхiдно випливає ще один параметр метрики k-значного коду – мiнiмальна кодова вiдстань d, або те число позицiй, у яких вiдрiзняються мiж собою два кодових слова. Нагадаємо, що невід’ємна функція d(X, Y) називається відстанню, чи метрикою, в деякій множині E_k, якщо для довільних упорядкованих елементів X, Y, Z із E_k виконуються такі властивості: d(X, Y) = 0 тоді, і тільки тоді, коли X = Y; d(X, Y) = d(Y, X); d(X, Y) d(X, Z) + d(Y, Z). k-значний код із мiнiмальною кодовою вiдстанню d дозволяє вiдшукати d – 1 помилок чи одночасно скоректувати довiльну конфiгурацiю з t стирань та r помилок за умови, що d > 2r + t + 1.

Верхня межа [2] числа можливих послiдовностей М для k-значного коду з надлишковiстю, що коректує r помилок, визначається як

, (1.21)

де М – число можливих послiдовностей (n, r)-коду; k – значнiсть коду; n – число розрядiв коду; – число сполучень зn по m; m = ;r – число помилок, що коректується.

Доведення. Число послiдовностей, що вiдрiзняється вiд довiльної даної послiдовностi на один знак, дорiвнює (k– 1), де перший множник – це число сполучень із n по одному, а k– 1 – число значень сповiщення, що можуть на данiй позицiї зайняти мiсце сигналу, що передається. При рiзницi у двох знаках даної послiдовностi число таких послiдовностей становитиме (k– 1)². Тут (k–1)² –число можливих пар сигналiв, що можуть зайняти мiсця сигналiв, які передаються. Далi, продовжуючи за iндукцiєю, можна за наявностi r знакiв записати значення (k– 1)^r. Очевидно, що для числа послiдовностей М, якi рiзняться одна вiд одної не менше нiж на 2r + 1 знакiв, можна вказати верхню межу як нерiвність (1.21), де kⁿ – загальне число послiдовностей.

1.7.2. Метричні властивості k-значних двомісних функцій. Процедури синтезу k-значних комутацiйних логiчних структур передбачають наявнiсть двовходових (двовимiрних) мультиплексорiв, якi працюють із k-значним структурним алфавiтом, що приймає значення з множини E_k= {0, 1, ..., k – 1}, і реалізують двомісні функції k-значної логіки. За наявностi розробки унiверсального одновходового k-значного функцiонального перетворювача [82], на його основi можна синтезувати дво- та багатовходовi мультиплексори, якi, при фiксованому налагодженнi базисних сигналiв одновходового мультиплексора, володiють багатофункцiональнiстю [76]. Комутацiйнi властивостi двовходового мультиплексора можуть бути описанi суперпозицiєю одномiсних функцiй k-значної логiки так [3]:

, (1.22)

де f () –довiльна фiксована функцiя з (– множина всiх функцiй двохk-значних змiнних); –функцiя, що реалiзується одновходовим унiверсальним елементом чи мультиплексором (пробiгає всю множину функцiй ізоднiєї змiнної).

Усi функції визначенi на E_k зi значеннями також в E_k = {0, 1, ..., k – 1}. Суперпозицiєю функцiй iз P_k називається:

1. довiльна функцiя, яка отримується зі системи функцiй однієї змінної P_k шляхом замiни змiнних;

2. будь-яка функція, що отримується шляхом заміни змінних із функції

,

де – суперпозиція функцій системиP_k і/або є(тут не припускається, що всі функціїрізні).

Для прикладу, при k = 3, функції f() можуть бути поданi у формі таблиць істинності двох видiв:

Таблиця 1.1

Таблиця істинності тризначної функції (вид 1)

	000	111	222
	012	012	012
	210	021	000

Таблиця 1.2

Таблиця істинності тризначної функції (вид 2)

f()
		0	1	2
	0	2	1	0
	1	0	2	1
	2	0	0	0

Максимально можливе число рiзних комутацiйних функцiй, що реалiзуються двоходовим мультиплексором i описуються суперпозицiєю (1.22), залежить вiд виду фiксованої функції налагодження f()  та обмежене зверху величиною [3].

У роботі [76] отримано низку оцiнок для трьох базисних для синтезу k-значних комутацiйних структур функцiй виду max (x₁, x₂), min (x₁, x₂), (x₁, x₂)modk щодо числа рiзних функцiй, якi реалiзуються суперпозицiєю (1.22). Річ у тому, що такi суперпозиції породжують k^2k комутацiйних функцiй, але не всi вони попарно рiзнi. Ось чому розроблення алгоритму визначення числа попарно рiзних функцiй, що породжуються суперпозицiєю (1.22), є фундаментальною проблемою для синтезу k-значних комутацiйних структур. Фундаментальнiсть такої оцiнки пов’язана з проблемою функцiональної повноти систем k-значних логiчних (комутацiйних) функцiй та є NP-cкладною задачею. Зокрема, проблема оптимального вибору виду фiксованого налагодження f() дозволяє, як наслiдок, вибрати й оптимальний функцiонально повний набiр з погляду мiнiмуму необхiдних значень iз E_k при максимумi можливих варiантiв попарно рiзних комутацiйних функцiй. Проблема формування оптимальних функцiонально повних базисiв для k-значної логiки надзвичайно складна [3], мало дослiджена, хоча на даний момент набуває щораз більшого значення з погляду створення апаратних і програмних обчислювальних засобiв штучного інтелекту.

У зв’язку з «комбiнаторним вибухом», що супроводжує спроби вирiшення поставленої задачi методом прямого перебору, необхiдно розробити вiдповiдні методи розбиття на класи еквiвалентностi, що не перетинаються, множини функцiй f() і пiддаються пiдрахунку та дослiдженню. Адже загальне число функцiй для довiльного налагодження двовходового мультиплексора оцiнюється величиною і вже дляk = 3 становить величину 19 683, що гальмує подальшi пошуки та дослiдження як із використання k-значних систем числення, так i розроблення засобiв на цiй основi.

Частковий результат, отриманий у [76], щодо оцiнки числа рiзних функцiй, які породжуються суперпозицiями ,тає для перших двох суперпозицiй такий:

, (1.23)

де i – iндекс розбиття множини P_k¹ на класи еквiвалентностi такi, що до класу Q_k-i вiдносяться тi з них, якi приймають з E_k значення не менше за k– i та не належать до класу Q_k-l (l < i).

Для останньої суперпозицiї (суми за модулем k) отримано [76] напiвемпiричну залежнiсть такого виду:

. (1.24)

Як видно з наведених виразiв, результати досліджень метричних властивостей k-значних двомісних функцій отриманi на даний момент дуже скромнi й частковi – тiльки для суттєво упорядкованих суперпозицiй, i тому вимагають подальшого узагальнення та розвитку.