§ 4. Нагрузки, действующие на штанги, и их влияние на ход плунжера

Таким образом, действительная нагрузка от веса штанг бу­дет равна

(х.39)

где Р_ш — вес колонны штанг в воздухе; f_ш — площадь сечения штанг; ρ — гидростатическое давление, действующее на нижнее сечение штанг. Давление р состоит из двух слагаемых: р₁ и р_у, где р₁ —гид­ростатическое давление столба жидкости в НКТ и р_у— давле­ние на устье.

(Х.40)

Подставляя (Х.40) в (Х.39) и вынося величину Р_ш за скобки, получим

(Х.41)

Учитывая, что P_ш = p_cgLf_ш,, где р_с — плотность материала штанг, и подставляя это значение в знаменатель квадратной скобки (Х.41), после некоторых преобразований получим

(Х.42)

где

(Х.43)

— коэффициент, учитывающий потерю веса штанг в жидкости с учетом давления на устье. При р_у = 0 коэффициент b превра­щается в обычный, ранее известный из литературы.

Нагрузка от веса столба жидкости определяется как про­изведение площади сечения плунжера f_п на разность давлений ∆р = р_н—Р_пр, действующих снизу р_пр и сверху р_н на поверхность плунжера.

Конструкция сочленения штанг с плунжером с помощью кла­панной клетки такова, что давление ∆р действует на всю по­верхность плунжера без вычета площади сечения штанг. Таким образом,

Р_ж=f_Г(Р_н-Р_пр) (Х.44)

Величина ρ_н — давление над плунжером, складывается из четы­рех слагаемых

Рн=P₁+Ру+Р₂—Рз, (X .45)

где р₁ — гидростатическое давление столба жидкости; р_у — дав­ление на устье скважины, обычно задается или известно; р₂ — потери давления на трение жидкости в трубах при движении плунжера вверх; р₃ — давление разгрузки в результате газлифтного эффекта выделяющегося из нефти газа в НКТ.

Если скважина имеет кривизну и средний угол отклонения от вертикали равен β, то

(Х.46)

Величина р₃ отрицательная, так как учитывает работу вы­деляющегося из жидкости газа и снижающего нагрузку на плунжер в результате газирования жидкости.

р2 определяется по обычной формуле трубной гидравлики

(Х.47)

Скорость жидкости в трубе υ может быть определена как средняя скорость движения плунжера при ходе вверх Sn/30, умноженная на отношение площадей сечения плунжера и труб с учетом площади штанг:

(Х.48)

Подставляя (Х.48) в (Х.47), найдем

(Х.49)

Здесь d — внутренний диаметр труб; d_n — диаметр плунжера; d_ш — диаметр штанг; S — длина хода плунжера; n — число ка­чаний в минуту.

Обычно р₂ невелико и составляет несколько долей МПа, од­нако при откачке высоковязких жидкостей может быть значи­тельной.

Величину рз определить труднее. Для достаточно точного ее определения должны быть использованы методы расчета процесса движения газожидкостных смесей в трубах. Однако возможен упрощенный подход к вычислению рз, основанный на приближенной оценке работы газа по подъему жидкости.

Полагая, что в трубах происходит изотермическое расши­рение газа от давления насыщения р_нас до давления р_у, его работу можно определить по законам термодинамики

(X .50)

Если V — расход газа, м³/сут, приведенный к стандартным условиям, а ро — атмосферное давление в Па, то W_Г будет иметь размерность Η · м/сут.

Эта работа расходуется на поднятие жидкости, количество которой равно суточному дебиту скважины Q, на некоторую высоту х, подлежащую определению. Учитывая, что энергия газа W_r используется не полностью из-за потерь на трение и скольжение газа, что особенно существенно при малых дебитах, характерных для ШСНУ, введем понятие к. п. д. использования этой энергии η. Тогда приравнивая работу по подня­тию жидкости работе расширения газа, получим

(Х.51)

Расход газа V определим с учетом газового фактора Г₀, коэф­фициента растворимости газа α и обводненности п:

(X.52)

По (Х.52) расход газа определяется как произведение де­бита жидкости на эффективный газовый фактор, вычисленный для среднего давления в насосных трубах. Подставляя (Х.52) в (Х.51) и сокращая на Q, получим

(Х.53)

Зная χ из (Х.53), определим давление разгрузки от работы газа, как обычно.

(Х.54)

К. п. д. работы газа в насосных трубах при работе ШСНУ при­ближенно может быть принят η = 0,4—0,5, причем меньшая цифра соответствует сильно обводненной нефти, большая — практически безводной продукции.

Влияние динамических нагрузок

Максимальные динамические нагрузки возникают в в. м. т. и н. м. т. Причем в в. м. т. они направлены вверх и умень­шают вес штанг, которые сжимаются и поэтому сообщают плун­жеру дополнительный ход е\ В н. м. т. эти нагрузки направ­лены вниз и поэтому увеличивают вес штанг, которые удлиняют­ся и сообщают плунжеру дополнительный ход е₂. В результате полезный ход плунжера будет равен

S_n=S—λ+е₁+е₂ (Χ.55)

Деформации е₁ и е₂ могут быть подсчитаны по той же фор­муле Гука. Но, в отличие от ее использования для определения λ от действия силы Р_ж, как сосредоточенной нагрузки, прикла­дываемой к нижнему концу штанги, в этом случае деформации е₁ и e₂ возникают от действия силы инерции P_I, являющейся, как и сила тяжести, силой массовой, распределенной во всем объеме штанг. Обычно равномерно распределенную силу заме­няют сосредоточенной и приложенной к центру тяжести тела, который для одноступенчатой колонны штанг лежит в серединеих длины. По этим причинам в формулу Гука вместо длины L необходимо подставить L/2. Таким образом,

(Х.56)

где Ρ ι в — максимальная инерционная сила в в. м. т.; Pin — максимальная инерционная сила в н. м. т.

Инерционная сила равна произведению массы на ускорение

Р=Мj. (Х.57)

Из теории шатунно-кривошипного механизма с конечным от­ношением радиуса кривошипа r к длине шатуна l известно, что

(Х.58)

где ω = πn/30— угловая скорость вращения кривошипа. Причем знак плюс берется для положения головки балансира в н. м. т., знак минус — для положения головки балансира в в. м. т. Оп­ределяемое по (Х.58) ускорение справедливо для точки сочле­нения шатуна с балансиром. Для того чтобы перейти к точке подвеса штанг, необходимо выражение (Х.58) умножить на от­ношение длины переднего плеча балансира α к длине заднего плеча балансира b. Поэтому для точки подвеса штанг будем иметь

(Х.59)

В качестве массы М, на которую действует это ускорение, принято брать массу штанг М=Р_ш/g. Таким образом,

(Χ.60)

(Х.61)

Подставляя (Х.60) и (Х.61) в (Х.56) и производя необходи­мые преобразования и подстановки, получим

(Х.62)

;

Учитывая, что

Pm = fuibp_cg; 2r-^- = S,

σ

и делая возможные сокращения, получим

(X.63)

Подставляя в (Х.63) значение постоянных чисел π, р_с и мо­дуля Юнга Ε в соответствующей размерности (л = 3,1416, р_с = = 7800 кг/м³, Ε = 2,06*10 ^-10 Н/м²), получим

e₁+e₂=2,076*10^-10L²n²S. (X.64)

Подставляя (Χ.64) в (Χ.55) и вынося S за скобки, получим ход плунжера с учетом действия инерционных сил

S_n=S(l+2,076*10 ^-10L²n²)—λ. (Χ.65)

Выражение, стоящее в скобках, принято называть факто­ром выигрыша хода К

К =1 + 2,076*10 ^-10L²n². (X .66)

Тогда ход плунжера

S_n=SK— λ. (Χ.67)

Величина К обычно мала и отличается от единицы на 1,5— 2,5 % для обычных режимов, но она быстро возрастает с уве­личением глубины подвески насоса L и числа качаний n, так как последние входят в формулу для К в квадрате.

Так, при L = 1000 м и n= 5 мин ^-1 K=1,0052, но при L = 1500 м и n=10 мин ^-1 К= 1,0467.

Динамические нагрузки

Величины динамических нагрузок в в. м. т. и и. м. т. уже были определены [см. формулы (Х.60) и (X.61)]. Обычно в рас­чет при начале хода вверх принимают большую из них, а именно определяемую формулой (Х.61) для н. м. т.

Однако для расчета формулу упрощают и приводят к виду

Р_iн = Р_шт, (Х.68)

где (Х.69)

Эти упрощения следующие. Подставляя в (Х.61)

получим

(Х.70)

В технической литературе встречается другое выражение для фактора динамичности т

получаемое в предположении, что л²=g и r/l=1/4, как это имело место в старых деревянных станках-качалках. В таком случае

(Х.71)

Величина т обычно невелика и составляет 0,05—0,12, т. е. увеличение нагрузки от инерционных сил происходит на 5—12 % от веса штанг. Однако в этом упрощенном подходе к опреде­лению Pi и т имеется существенное допущение. Оно заключа­ется в том, что величина /_тах умножается на всю массу штанг Μ [см. формулу (Х.57)]. Это равносильно сосредоточению всей массы штанг в шаре, прикрепленном к головке балансира. В действительности штанги — упругий стержень и всякий им­пульс, приложенный к штангам в точке подвеса, распространя­ется по всей массе не мгновенно, а со скоростью звука в металле а. Поэтому к тому времени t = L/a, пока импульс дойдет до нижнего конца штанг, верхний конец будет испытывать мень­шее ускорение, так как за это время кривошип успеет повер­нуться на угол φ = ωL/α рад и вызовет в точке подвеса уско­рение j<j_maх. В результате действительная величина Pi бу­дет меньше расчетной. Однако в этом приближенном расчете не учтена инерция столба жидкости над плунжером, которая должна увеличивать Ρ ι. Скорость звука в материале штанг а=4800 м/с, а в жидкости (воде) а= 1400 м/с. Поэтому действие силы инерции жидкости сильно запаздывает. Таким образом, учитывая всю массу штанг, мы завышаем Ρ ι, а отбрасывая инер­цию столба жидкости, занижаем Pi. Предполагается, что эти две неточности компенсируются. Более сложные теории ра­боты штанг в насосной скважине учитывают эти явления. По аналогии с формулой (Х.70) инерционная нагрузка в в. м. т. будет равна

(Χ·72)

и в этом случае

(X.73)

Силы трения

Суммарная сила трения состоит из сил трения: плунжера в цилиндре, зависящей от при-гонки плунжера, T1; полированного штока в сальнике устьевого оборудования, зависящей от затяжки сальника и состояния штока,— T2;

штанг о стенки насосных труб, зависящей от кривизны сква­жин,— Т₃;

штанг о жидкость в трубах, зависящей от вязкости жид­кости, размера штанг, труб и насоса, Т4.

Силы трения направлены в сторону, противоположную дви­жению.

Силы трения в моменты, соответствующие в. м. т. и н. м. т.. когда штанги не движутся, равны нулю. Однако при прохож­дении головкой балансира своего среднего положения ее ско­рость движения, а следовательно, и штанг достигает макси­мального значения. Поэтому и сила трения штанг о жидкость в этот момент времени имеет наибольшее значение. Она зави­сит от скорости движения штанг относительно жидкости в подъ­емных трубах, от соотношения площадей сечения плунжера и труб, от вязкости жидкости, длины колонны штанг и их диа­метра.

Сила трения о жидкость действует тогда, когда силы инер­ции исчезают.

Общую силу трения в штанговой насосной установке опре­деляют по эмпирической формуле

Р_т = 2500S,

где рт — суммарная сила трения, Н; S — ход полированного штока, м.

По некоторым оценкам сила трения в плунжерной паре Τι и сальнике штока Т₂ находится в пределах

T1 + T₂ = 200 — 500Η,

причем меньшая цифра рекомендуется для насосов с большим зазором (III группа посадки: 120—170 мкм), а большая — для насосов с малым зазором (I группа посадки: 20—70 мкм).

Силы трения штанг о стенки труб при их ходе вверх и вниз различные, так как натяжение штанг, под действием которого они прижимаются к стенкам труб при ходе вверх, равно Р_ш + Рж, а при ходе вниз Р_ш. Учитывая нормальную составляю­щую силы натяжения штанг и кривизну скважин, можно при­ближенно определить силу трения штанг о стенки труб T₃ сле­дующим образом:

для хода вверх Т₃ = (Р_Ш +Ρ_ж)η _т sinβ,

для хода вниз Τ₃ = Ρ_шηтsinβ, (Χ-74)

где β — средний угол кривизны скважины; η_τ — коэффициент трения.

При откачке чистой нефти можно рекомендовать η_τ = 0,08— 0,10.

При откачке обводненной нефти η_τ = 0,1—0,13.

Как видно из (Х.74), для вертикальной скважины T₃ = 0, так как β = 0, sΐnβ = 0.

Оценка величины Т₃ по формуле (Х.74) при Рш + Рж = = 50000 Η и η_τ = 0,1 дает следующие результаты:

при β = 5° Т₂ = 435 Н,

β = 10° Т₂ = 867.5 Н,

β = 15° Т₂ = 1708.3 Н,

Силы трения штанг о жидкость T₄ при ходе вверх и вниз также различны. При ходе вниз столб жидкости в трубах мо­жно считать неподвижным (всасывающий клапан закрыт), и штанги опускаются относительно жидкости со средней ско­ростью

v_n = Sn/30. (X.75)

При ходе вверх плунжер, имеющий площадь F—f_ш· поднимает жидкость, которая затем перетекает в трубы, имеющие площадь сечения F_T—f_Ш. Поскольку площадь кольцевого сечения в тру­бах больше, чем площадь цилиндра насоса со штангами внутри, то восходящая скорость движения жидкости в трубах будет меньше, чем ее скорость в цилиндре насоса. Поэтому средняя скорость штанг относительно жидкости в трубах при ходе вверх рв будет равна разности средних скоростей штанг и жидкости в трубах:

(Х7б)

Выражая площади сечения F, f_ш, F_τ плунжера, штанг и труб соответственно через квадраты их диаметров, получим

(Х.77)

Силу трения штанг о жидкость можно определить в пред­положении, что она равна потерям на трение в трубе диамет­ром, равным диаметру штанг, по которой движется жидкость со скоростью, равной скорости штанг относительно жидкости. Это предположение основано на принципе относительности дви­жения, так как потери напора на трение не изменятся от того, что жидкость будет двигаться в трубе или, наоборот, труба бу­дет двигаться с той же скоростью относительно неподвижной жидкости.

Если определить потери напора на трение h_тр, то, переходя к давлению и умножая на площадь сечения трубы, получим силу трения

T₄=hтр*ρ_ж*g*f_ш. (Х-78)

Величину h_Tp можно определить по законам трубной гид­равлики

(Χ.79)

где X=64/Re; Re = vd_w/v — коэффициент трения и число Рейнольдса, соответственно для ламинарного движения. Расчеты показывают, что при малых диаметрах и скоростях числа Re очень малы, ниже критических значений.

Подставляя в (Х.79) значения λ (Re) и υ согласно (Х.75) для хода вниз и (Х.77) для хода вверх, а затем подставляя ре­зультат в (Х.78), получим формулы, определяющие трение штанг о жидкость. Для хода вниз

После сокращений и упрощений получим

(Х.80)

Аналогично для хода вверх, используя формулу скорости штанг относительно жидкости в трубах (Х.77), получим

(х.81)

здесь ν — кинетическая вязкость жидкости, м²/с; р_ж — плотность жидкости, кг/м³; L_m — длина штанг, м; S — ход полирования штока, м; n — число ходов в минуту, мин ^-1