- •§1. Эллипс
- •2. Исследование формы эллипса по его уравнению
- •3.Эксцентриситет эллипса
- •4.Параметрические уравнения эллипса
- •5.Построение точек эллипса
- •§2 Гипербола
- •1. Определение гиперболы и её уравнение
- •2. Исследование формы гиперболы по её уравнению
- •3.Эксцентриситет гиперболы
- •5.Построение точек гиперболы
- •§3. Парабола
- •1. Определение параболы и её уравнение
- •2. Исследование формы параболы по его уравнению
- •3.Построение точек параболы
- •§4.Решение задач
2. Исследование формы гиперболы по её уравнению
Пусть дан гипербола своим каноническим уравнением (6) .
Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим:
а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют
уравнению (6). => Гипербола не проходит через начало координат.
б) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох : => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох : и .
в) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оу : => => Гипербола не имеет точек пересечения с осью Оу . .
г) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит гиперболе . => Гипербола симметрична относительно оси Ох.
д) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М2(х;-у) принадлежит гиперболе. => Гипербола симметрична относительно оси Оу. На основании г) и д) можно сделать вывод, что гипербола симметрична относительно начала системы координат.
е) Из уравнения (6) , => => Все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямыми .
ж) Выясним вопрос о взаимном расположении гиперболы с прямой , проходящей через начало координат. Для этой цели необходимо исследовать вопрос о существовании решений системы .
Подставив из уравнения прямой в уравнение гиперболы, получаем:
. (7)
Действительные решения этого уравнения возможны в трёх случаях:
1) > 0. Уравнение имеет два действительных решения:
, .
В этом случае прямая пересекает гиперболу в двух, симметричных относительно начала координат, точках:
, .
2) ≤ 0. В этом случае уравнение (7) не имеет действительных решений. Геометрически это означат, что прямые не пересекаются с гиперболой.
Полученные результаты показывают, что если построить прямоугольник М1М2М3М4 сторонами и , так, чтобы стороны его были параллельны осям координат, а центр симметрии совпадает с началом системы координат, то прямые, проходящие через начало координат и расположенные внутри вертикальных углов М1ОМ2 и М3ОМ4, пересекают гиперболу.
х
Рис.7.
Таким образом, все точки гиперболы находятся в заштрихованных на рисунке 7 областях.
Заметим, что прямые ℓ1 и ℓ2 имеют уравнения : .
Выясним, каково поведение гиперболы по отношению к этим прямым. Так как гипербола симметричнее относительно осей координат, то достаточно рассмотреть её поведение в первой четверти.
ℓ
mm
Рис.8.
Проведём произвольную прямую ℓ перпендикулярно оси х. Пусть эта прямая имеет уравнение . Прямая ℓ пересекается с гиперболой в точке М. Для нахождения координат точки М необходимо решить систему:
.
Таким образом, точка М имеет координаты: . Если , то эти координаты действительны. Координаты точки L ─ точки пересечения прямой ℓ с прямой , принимают значения . Так как , то точка L лежит выше точки М. =>
.
Опустим из точки М перпендикуляр MN на прямую m. │ MN│< │LM│
=> . Выясним как ведёт себя│ MN│ при неограниченном росте параметра .
=> Точки гиперболы по мере удаления от оси Оу неограниченно приближаются к прямым , но не пересекают их. Прямые называются асимптотами гиперболы.
з) Так как , то можно сделать вывод, что с ростом х величина у возрастает от 0 до ∞.
Учитывая симметричность гиперболы относительно осей координат, получаем изображение гиперболы (Рис.9).
Рис. 9.
Точки А1, А2, ─ называют вершинами гиперболы. [A1A2] ─ действительной осью гиперболы, [B1B2] ─ называют мнимой осью гиперболы. Числа и называют действительной и мнимой полуосями гиперболы. (Рис.9)