- •§1. Эллипс
- •2. Исследование формы эллипса по его уравнению
- •3.Эксцентриситет эллипса
- •4.Параметрические уравнения эллипса
- •5.Построение точек эллипса
- •§2 Гипербола
- •1. Определение гиперболы и её уравнение
- •2. Исследование формы гиперболы по её уравнению
- •3.Эксцентриситет гиперболы
- •5.Построение точек гиперболы
- •§3. Парабола
- •1. Определение параболы и её уравнение
- •2. Исследование формы параболы по его уравнению
- •3.Построение точек параболы
- •§4.Решение задач
3.Эксцентриситет эллипса
Рассмотрим эллипс с фокусами в точках F1 и F2 , большой полуосью которого является [A1A2].
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число, равное .
Так как , то ε > 0. Для окружности => ε = 0.
Пусть эллипс задан уравнением , тогда => => => . => Эксцентриситет определяется отношением полуосей эллипса.
Рис.3.
При ε = 0 получаем , что указывает на то, что в этом случае
эллипс является окружностью. При стремлении ε к единице отношение полуосей становится меньше и стремится к нулю. Зафиксируем значение большой полуоси эллипса и пусть ε → 0. Изменение формы эллипса, в этом случае показано на Рис.3.
ВЫВОД. Эксцентриситет характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой оси.
4.Параметрические уравнения эллипса
Построим на плоскости две окружности с центрами в начале координат и радиусами и . Проведём луч из начала координат, и пусть он пересечёт первую окружность в точке N1, а вторую ─ в точке N2. (Рис.4.)
Рис.4.
Через точку N1 Проведём прямую ℓ1|| (Оу), а через точку N2 ─ прямую ℓ2|| (Ох). Пусть М(х;у) = ℓ1 ∩ ℓ2 . Обозначим через α = А1ОN1, тогда
(6)
Разделив первое равенство системы (6) на , а второе на , после возведения полученных равенств в квадрат и сложения их получаем:
=> Точка М(х;у) принадлежит эллипсу.
Соотношения (6) называют параметрическими уравнениями эллипса.
5.Построение точек эллипса
Рис.5.
Построить эллипс с полуосями и можно на основании параметрических уравнений эллипса. Этапы построения следующие:
а) Строим две соосные окружности с радиусами и .
б) Проводим произвольный луч с началом в центре окружностей.
в) Точки эллипса М получаем как точки пересечения прямой параллельной оси (Ох) и проходящей через точку пересечения луча с окружностью радиуса с прямой, параллельной оси (Оу) и проходящей через точку пересечения луча с окружностью радиуса . (См. Рис.5).
Лекция №2
§2 Гипербола
1. Определение гиперболы и её уравнение
Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a < ǀF1F2ǀ=2c.
Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, а │F1F2│= 2с ─ фокальным расстоянием.
Пусть на плоскости даны две точки F1
и F2. Для того чтобы
составить уравнение гиперболы на
плоскости введём ортонормированную
систему координат, начало которой
поместим с середину отрезка [F1F2].
M
Рис.6.
Ось Ох расположим таким образом чтобы точки F1 и F2 принадлежали этой оси. (Рис.6)
В этом случае фокусы гиперболы принимают следующие координаты F1(c;0) и F2(-c;0). Пусть М(х;у) ─ произвольная точка эллипса. Тогда по определению││МF1│- │МF2││ = 2a. (1)
По формуле вычисления расстояния между точками имеем: ; . Таким образом из (1) =>
. Запишем полученное выражение в виде и возведём в квадрат. В результате, после приведения подобных получаем . Для того чтобы освободиться от корня возведём последнее выражение в квадрат. В результате после элементарных преобразований имеем: . (2)
Учитывая, что и , обозначим
|
и запишем (2) виде: . После деления полученного уравнения на получаем, что если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению
|
(4)
Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М1(х1;у1) удовлетворяют уравнению (4), то точка М1 принадлежит гиперболе.
Пусть для точки М1(х1;у1) справедливо равенство (5)
Из (5) следует: (6)
Вычислим
=> .
Аналогично, если провести подобные преобразования для , получим .
Заметим, что из (6) следует, что .
Рассмотрим случай, когда x > 0. В этом случае и, так как ,то и . => , то есть точка М1 принадлежит гиперболе.
Пусть теперь х < 0. В этом случае , откуда следует, что и . Таким образом, и . В результате получаем, что точка М1 принадлежит гиперболе , так как .
Таким образом, уравнение (6) является уравнением гиперболы, которое называется каноническим уравнением гиперболы.
[MF1] ─ называется первым фокальным радиусом гиперболы; . [MF2] ─ называется вторым фокальным радиусом гиперболы; .
Заметим, => такая гипербола называется равнобочной.