- •28. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
- •29. Степенной ряд и его область сходимости.
- •30. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •31. Разложение в ряды Маклорена основных элементарных функций.
- •32.Тригонометрическая система функций.
- •33.Тригонометрические ряды Фурье.
- •34.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •35.Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке [-l;l].
- •36. Интеграл Фурье.
- •37. Косинус- и синус-преобразование Фурье.
- •38.Дифференциальные уравнения. Основные определения
- •39.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •40.Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.
- •41.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •42.Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •43) Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
- •51) Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
- •54.Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.
- •55. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах.
- •56. Приложения вычетов к вычислению определённых интегралов.
38.Дифференциальные уравнения. Основные определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков.
Решение Дифференциального уравнения порядка n называется функция имеющая на некотором интервале производные порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Порядком Дифференциального уравнения называется порядок старшей производной входящей в это уравнение .
Если искомая функция зависит от одной переменной то соответствующее
Дифференциальное уравнение называется ОБЫКНОВЕННЫМ.(ОДУ)
Если искомая функция зависит от нескольких переменных то соответствующее Дифференциальное уравнение называется уравнение с частными производными.
(ОДУ) n-го порядка можно записать:F(x,y, , … ,
Уравнение называется разрешённым относительно старшей производной если оно имеет вид: =f(x,y, , … , .
39.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Р(х,у)dх+Q(х,у) dу=0
Если в уравнении правая часть раскладывается на множители, каждый из которых зависимый от одного аргумента , то уравнение называется Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Задача Каши для диф.ур.
Найти решение уравнения удовлетворяющему условию y(x)=y0.
Уравнение с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
f1(x)f2(y)dx+g1(x)g2(y)dy=0
dy далее интегрируем обе части.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Функция F(х,у) называется однородной измерения n если, при любом t выполняется тождество: F(tx,ty)=tnF(x,y)
Дифференциальным уравнением Р(х,у)dх+Q(х,у) dу=0 называется однородным если P и Q однородные функции одного и того же измерения n.
P(tx,ty)=tnP(x,y)
Q(tx,ty)=tnQ(x,y)
40.Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.
Уравнения Бернулли называется уравнение вида:
Уравнения Бернулли может быть сведено к линейному уравнению
Уравнения Бернулли можно сразу решить подстановкой
Линейные дифференциальные уравнения- если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение.
Линейные дифференциальные уравнения бывают нескольких видов:
1)Уравнение с переменными коэффициентами
2)Уравнение первого порядка
3) Уравнение первого порядка с переменными коэффициентами
4) Уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
41.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах называется уравнение вида: Р(х,у)dх+Q(х,у) dу=0
Левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции U=U(x,y)
Р(х,у)=U’x
Q(х,у)= U’y
Условия совместности U’xу =U’yх
Необходимые и достаточные условия
42.Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
1)Уравнение вида:
Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием
и т.д.
2) Уравнение вида:
Уравнение решаем с помощью замены при этом понижается порядок на к-1 т.е. отсюда находим z(x) а затем находим ук-кратным интегралом.
3) Уравнение вида: решается с помощью замены dz/dy=z(с точкой вверху)
4) Уравнение вида: решение и заменой у=UV
5) Уравнение вида : однородное относительно ф-ции у и ее производных