28. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

u1(x) + u2(x) +…+ un(x) +… , где un(x) = f (x,n), называется функциональным рядом.

Теорема о почленном интегрировании.

функция непрерывна на отрезке

на

Тогда

Теорема о почленном дифференцировании.

функция непрерывно дифференцируема на отрезке

сходится

равномерно сходится на отрезке .

Тогда — непрерывно дифференцируема на , на .

29. Степенной ряд и его область сходимости.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. Точку x₀ называют центром степенного ряда.

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

   (1.2)

Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

Теорема Абеля: Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором  , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что   Наоборот, если ряд (12) расходится при  , то он расходится при всех значениях x таких, что   

Свойства степенных рядов:

Пусть (-R, R) – интервал сходимости степенного ряда (1.2), тогда:

1. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, содержащемся в (-R, R).

2. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале (-R, R).

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почеленно дифференцировать.

4. Можно почеленно интегрировать на любом отрезке рассположенном в (-R, R).

5. Степенные ряды можно почленно складывать, вычитать, умножать, где у них общая область сходимости.

30. Аналитические функции. Ряд Тейлора.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Пусть функция   бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции   в точке  .

• В случае, если  , этот ряд также называется рядом Макло́рена.

• Если   есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке   области определения   сходится к   в некоторой окрестности  .

• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности  . Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке   равны нулю.

Аналити́ческая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного   (где   и   

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке   выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);

2. Ряд Тейлора функции в каждой точке   сходится и его сумма равна   (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

3. Интеграл   для любой замкнутой кривой   (аналитичность в смысле Коши)

Свойства

• Арифметические свойства

Если   и   аналитичны в области 

1. Функции  ,   и   аналитичны в  .

2. Если   в области   не обращается в ноль, то   будет аналитична в 

3. Если   в области   не обращается в ноль, то   будет аналитична в  .

• Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Обратное в общем случае неверно.

• Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку, то функция тождественно равна нулю.