- •28. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
- •29. Степенной ряд и его область сходимости.
- •30. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •31. Разложение в ряды Маклорена основных элементарных функций.
- •32.Тригонометрическая система функций.
- •33.Тригонометрические ряды Фурье.
- •34.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •35.Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке [-l;l].
- •36. Интеграл Фурье.
- •37. Косинус- и синус-преобразование Фурье.
- •38.Дифференциальные уравнения. Основные определения
- •39.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •40.Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.
- •41.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •42.Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •43) Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
- •51) Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
- •54.Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.
- •55. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах.
- •56. Приложения вычетов к вычислению определённых интегралов.
31. Разложение в ряды Маклорена основных элементарных функций.
Процесс разложения бесконечно дифференцируемой в т. функции в ряд Тейлора (частный случай, разложение функции в ряд Маклорена при ) проходит в три этапа:
1) для функции записывается ряд Тейлора;
2) определяется интервал сходимости ряда;
3) осуществляется проверка того, что для записанного ряда есть сумма этого ряда.
Экспонента:
Натуральный логарифм:
для всех
Биномиальное разложение:
для всех и всех комплексных где
В частности:
Квадратный корень:
для всех
для всех
Конечный геометрический ряд:
для всех
Тригонометрические функции:
для всех где — Числа Бернулли
для всех где — Числа Бернулли
для всех
для всех
32.Тригонометрическая система функций.
Тригонометрической системой называется система
1, cos x , sin x ,…, cos 2x, sin 2x,…,cos nx, sin nx,…
Тригонометрическая система периодическая с периудом 2 .
Интеграл по отрезку [- от произведения двух различных функций системы равен 0.
1)
2)
5.
Интеграл по отрезку [- от квадрата любой функции системы отличен от 0.
33.Тригонометрические ряды Фурье.
,где -постоянные коэффициенты.т.к. члены ряда имеют общий периуд 2 ,то n сумма ряда,если он содержит 2 переодическая функция.
Если ряд сходится равномерно [- то его коэффициенты определяются формулами: , , .
Тригонометрический ряд коэффициенты которого задаются формулами , , .
Называется рядом Фурье.
Если функция f определена интегрирована на отрезке [- и раскладывается в тригонометрический ряд
Который равномерно сходится на [- то это разложение единственное.
34.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Ряд Фурье для чётных функций:
, , .
Ряд Фурье для нечётных функций:
, , .
Если функция f(x) определена на интервале (0; то продолжит её на промежуток (- чётным или нечётным образом можно разложить ее в ряд Фурье только по cos или sin
Sin-нечётная cos-чётная
35.Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке [-l;l].
, , .
Для чётной
Для нечётной
36. Интеграл Фурье.
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где
.
37. Косинус- и синус-преобразование Фурье.
Интегралы
.
называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье. Из формул (2) и (3) непосредственно следует, что если к кусочно-гладкой функции применить последовательно два раза косинус- (или синус-) преобразование Фурье, то получим исходную функцию . В этом смысле косинус- (синус-) преобразование Фурье является обратным самому себе.
. (2)
. (3)