Дифракционная решетка
Под дифракционной решеткой понимается совокупность большого числа одинаковых, отстоящих на одном и том же расстоянии друг от друга щелей. Расстояние между центрами соседних щелей называется периодом или постоянной решетки. Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.
Расположим
за дифракционной решеткой собирающую
линзу и экран в фокальной плоскости
линзы. Пусть период
= а
+b,
где ширина каждой щели а,
а ширина непрозрачных участков между
щелями
.
Так как щели находятся на одинаковых
расстояниях друг от друга, то разности
хода лучей, идущих от соседних щелей,
для данного направления
будут одинаковы в пределах всей решетки:
О
чевидно,
что в тех направлениях, в которых ни
одна из щелей не распространяет свет,
он не будет распространяться и при двух
щелях, т.е. прежние
(главные) максимумы
интенсивности будут наблюдаться в
направлениях, определяемых условием
(3.5). Кроме того, вследствие взаимной
интерференции световых лучей, посылаемых
двумя щелями, в некоторых направлениях
они будут гасить друг друга, т.е. возникнут
дополнительные
минимумы.
Они будут наблюдаться в направлениях,
которым соответствует разность хода
лучей
,
,
… Таким образом, условие дополнительных
минимумов:
(m
= 0, 1, 2,
…) (3.7)
Действие одной щели будет усиливать действие другой, если
(m
= 0, 1, 2,
…) (3.8)
т.е. выражение (3.8) задает положение главных максимумов.
Получается, что между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум. При трех щелях между каждыми двумя главными максимумами располагается два дополнительных минимума, при четырех – три и т.д.
Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием главных минимумов является (3.5), условием главных максимумов (3.8), а условием дополнительных минимумов
(
= 1, 2, …, N
– 1, N
+ 1, …, 2N
–
1, 2N
+ 1, …) (3.9)
где может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, …, т.е. кроме тех при которых условие (3.9) переходит в (3.8). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается N – 1 дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами.
Чем
больше щелей, тем большее количество
световой энергии пройдет через решетку,
тем более интенсивными и острыми будут
максимумы. Так как модуль
не может быть больше 1, то из (3.8) следует,
что число главных максимумов
.
Положение главных максимумов зависит от . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная – наружу. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света.
Характеристики дифракционной решетки
1. Под угловой дисперсией понимается величина
-
угловое расстояние между двумя линиями,
отличающимися по длине волны на
.
Найдем угловую дисперсию. Продифференцируем выражение
(3.10)
При
малых
.
(3.11)
Получаем,
что чем больше период, тем меньше
,
чем больше порядок спектра m,
тем больше дисперсия.
2. Линейная дисперсия.
(3.12)
-
линейное расстояние между спектральными
линиями, отличающимися друг от друга
на
.
При
малых
можно положить
(
- фокус линзы). Тогда
(3.13)
Таким образом, дисперсия определяет линейное или угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу.
3. Разрешающая способность дифракционной решетки определяет минимальную разность длин волн , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.
(3.14)
-
число щелей,
- минимальная разность длин волн двух
спектральных линий, при которой эти
линии воспринимаются раздельно.
Решетки бывают прозрачные (кварцевые пластины) и отражательные (металлические пластины). Лучшие решетки имеют до 1200 штрихов на 1 мм.