12.Интеграл с переменным верхним пределом.

Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

x є [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

Теорема .Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

13.Формула Ньютона-Лейбница.

^{Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.}

^{Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.}

^{Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.}

^{Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.}

^{Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)}

^{Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то}

^{это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.}

^{Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то}

^{при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:}

^{Тогда .}

^{А при х = b:}

^{Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:}

^{Теорема доказана.}Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

14.Замена переменной в определенном интеграле.

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t₁; t₂], причем φ([t₁; t₂])=[a; b] и φ(t₁)=a, φ(t₂)=b, то справедлива формула: (5)

Доказательство. Пусть –первообразная для функции, то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница (I)

покажем, что функция является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница(II)

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

15.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула:

где .

Формула называется форм-й интегрирования по частям для определенного интеграла.

Поскольку (uv)' =u'v+uv' , то функция uvявляется первообразной для функции u'v+uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница и св-вом

_{получаем:}

,

что равносильно самой первой, поскольку по определению дифференциала u'(x)dx=du и v'(x)dx=dv.

Пример 30.