27.Необходимое условие сходимости ряда.

Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится. Пример.Исследовать числовой ряд на сходимость.Решение.Проверим необходимое условие сходимости числового ряда:

Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

28.Положительные ряды; признаки сравнения их сходимости.

Числовой ряд, все члены которого неотрицательны, т.е. для любого n принадлежащего(значком) Nвыполняется неравенство u_n≥0, называют положительным рядом. Такие ряды точнее было бы назвать рядами с неотрицательными членами. В частности ряды с неположительными членами (u_n≤0) путём умножения на (-1) переходят в ряды с неотрицательными членами и, следовательно, можно будет сделать выводы и об их сходимости.

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда   и   − такие, что   для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если   сходится, то   также сходится;

 Если   расходится, то   также расходится.

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда   и  , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

• Если  , то оба ряда   и   либо сходятся, либо расходятся;

• Если  , то ряд   сходится, если сходится ряд  ;

• Если  , то ряд   расходится, если расходится ряд  .

Так называемый обобщенный гармонический ряд   сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1. 

29.Предельный признак Даламбера.

Признак Даламбера.Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.Замечание.Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Пример.Исследуйте числовой ряд на сходимость по признаку Даламбера.Решение.Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда, предел вычислим по правилу Лопиталя: Условие выполнено.Воспользуемся признаком Даламбера: Таким образом, ряд сходится.

30.Предельный признак Коши.

Радикальный признак Коши.Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.Замечание.Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров. Пример.Исследовать знакоположительный числовой ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.Решение.Необходимое условие сходимости ряда выполнено, так как . По радикальному признаку Коши получаем . Следовательно, ряд сходится.