- •1. Первообразная и ее свойства.
- •2. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределённого интеграла
- •3.Таблица интегралов.
- •4.Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •6,Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
- •7.Интегрирование простых правильных дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •8.Разложение рациональных дробей на простейшие, интегрирование рациональных функций.
- •9.Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.
- •10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •11.Определение определенного интеграла и его свойства.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •14.Замена переменной в определенном интеграле.
- •15.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •16.Геометрические приложения определенного интеграла.
- •17.Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования от непрерывных функций.
- •18.Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.
- •19.Дифференциальные уравнения.
- •20.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
- •21.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •22.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, структура их общего решения.
- •23.Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
- •24.Нахождение частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части.
- •25.Числовой ряд и его сумма; сходящиеся и расходящиеся ряды.
- •26.Геометрический и гармонические ряды.
- •27.Необходимое условие сходимости ряда.
- •28.Положительные ряды; признаки сравнения их сходимости.
- •29.Предельный признак Даламбера.
- •30.Предельный признак Коши.
- •31.Интегральный признак Маклорена -Коши.
- •32.Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость.
- •33.Теорема Коши об абсолютной сходимости знакопеременного ряда.
- •34.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
- •35. Теорема Абеля сходимости степенного ряда.
- •36. Радиус сходимости степенного ряда и его нахождение.
- •37. Понятие о рядах Тейлора и Маклорена.
- •39. Разложение в ряд Маклорена функции.
6,Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
Рассмотрим интеграл , содержащий квадратный трехчлен в знаменателе подынтегрального выражения. Такой интеграл берут также методом подстановки, предварительно выделив в знаменателе полный квадрат. Покажем это на примерах.
Пример . Вычислить .
Решение. Преобразуем , выделяя полный квадрат по формуле . Тогда
;
7.Интегрирование простых правильных дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.
Любую неправильную дробь можно представить в виде:
,где P(z) = Q(z) S(z) + R(z), a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Определение . Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1. ;
2. , где к -целое число, больше единицы
3. , где , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней
4.
Вычисление интеграла производится по рекуррентной формуле :
8.Разложение рациональных дробей на простейшие, интегрирование рациональных функций.
Рациональной называется функция вида
где m,n-целые, положительные числа. Если m<n,то R(x) называется правильной дробью, если m n ,то неправильной. Всякую неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: , l<n.
Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа:...(билет 7).
Теорема. Правильную рациональную дробь где можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:
- (6)
(A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns – некоторые действительные числа).
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm(x)и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn(x).
Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.