- •1. Первообразная и ее свойства.
- •2. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределённого интеграла
- •3.Таблица интегралов.
- •4.Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •6,Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
- •7.Интегрирование простых правильных дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •8.Разложение рациональных дробей на простейшие, интегрирование рациональных функций.
- •9.Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.
- •10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •11.Определение определенного интеграла и его свойства.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •14.Замена переменной в определенном интеграле.
- •15.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •16.Геометрические приложения определенного интеграла.
- •17.Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования от непрерывных функций.
- •18.Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.
- •19.Дифференциальные уравнения.
- •20.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
- •21.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •22.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, структура их общего решения.
- •23.Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
- •24.Нахождение частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части.
- •25.Числовой ряд и его сумма; сходящиеся и расходящиеся ряды.
- •26.Геометрический и гармонические ряды.
- •27.Необходимое условие сходимости ряда.
- •28.Положительные ряды; признаки сравнения их сходимости.
- •29.Предельный признак Даламбера.
- •30.Предельный признак Коши.
- •31.Интегральный признак Маклорена -Коши.
- •32.Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость.
- •33.Теорема Коши об абсолютной сходимости знакопеременного ряда.
- •34.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
- •35. Теорема Абеля сходимости степенного ряда.
- •36. Радиус сходимости степенного ряда и его нахождение.
- •37. Понятие о рядах Тейлора и Маклорена.
- •39. Разложение в ряд Маклорена функции.
34.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине ( для всех ) и стремятся к нулю ( при ), то ряд сходится.
Доказательство. Согласно определению 3 нужно доказать, что . Это равенство будет доказано, если его установим как при чётном , так и при нечётном ; при этом .
Рассмотрим сначала чётную частичную сумму, т.е. сумму первых членов ряда. Очевидно, что её можно записать в виде
.
Из условия теоремы следует, что все выражения в скобках этой суммы положительны. Следовательно, сама эта сумма положительна . С возрастанием номера эта сумма увеличится, т.к. добавится ещё одно положительное слагаемое. Теперь эту сумму запишем так:
.
В этой записи все выражения в скобках положительны и . Таким образом, получается вычитанием из некоторого количества положительных чисел. Следовательно, при любом .
Таким образом, установлено, что последовательность чётных частичных сумм ряда возрастает и ограничена сверху. По признаку существования предела монотонной последовательности она имеет конечный предел, который обозначим :
.
Проверим теперь, что и частичные сумы с нечётными номерами сходятся к тому же числу . Очевидно, что для таких сумм справедливо равенство . Перейдём в этом равенстве к пределу, когда . Так как по условию теоремы , то получим следующее:
.
Объединяя результаты , можно записать , т.е. ряд сходится. Теорема доказана.
Ряд получается из ряда умножением его на . Тогда при выполнении условий теоремы 9 этот ряд также сходится.
Знакочередующиеся ряды при выполнении двух условий признака Лейбница ( для всех , ) называют рядами лейбницевского типа. Как только что было установлено, любой ряд лейбницевского типа сходится.
35. Теорема Абеля сходимости степенного ряда.
Для степенного ряда (1) имеют место следующие утверждения:
1) если степенной ряд (1) сходится при , то он сходится (притом абсолютно) при всех таких, что ;
2) если ряд расходится при , то он расходится при всех , для которых .
Доказательство. 1. По условию теоремы числовой ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что сходящаяся числовая последовательность ограничена, т.е. найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство
.
Пусть , тогда величина и, следовательно, , т.е. модуль каждого члена ряда (1) не превосходит соответствующего члена сходящегося геометрического ряда . Поэтому (по первому признаку сравнения) будет сходиться ряд . Следовательно, при ряд (1) сходится абсолютно.
2. Дано, что ряд расходится в точке ; нужно доказать, что он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству . Предположим противное: при некотором , удовлетворяющем неравенству , степенной ряд сходится. Тогда по первой части теоремы Абеля ряд будет сходиться при всех , для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию теоремы.
Теорема полностью доказана.
С геометрической точки зрения в теореме Абеля утверждается следующее:
1) если ряд (1) сходится в точке , то он абсолютно сходится на интервале ;
2 ) если ряд (1) расходится в точке , то он расходится на луче , лежащем левее точки , и на луче , лежащем правее точки :
Для области сходимости степенного ряда (1) возможны следующие ситуации: 1) ряд сходится только в одной точке (в этой точке сходится всякий степенной ряд (1)); 2) ряд сходится на всей числовой оси; 3) ряд сходится не на всей числовой оси, но и не только в одной точке .