1.

Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.

Число с плавающей запятой состоит из:

• Мантиссы (выражающей значение числа без учёта порядка)

• Знака мантиссы (указывающего на отрицательность или положительность числа)

• Порядка (выражающего степень основания числа, на которое умножается мантисса)

• Знака порядка

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1) ( ). Число с плавающей запятой, находящееся не в нормальной форме, теряет точность по сравнению с нормальной формой. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10⁰, 0,001×10⁻¹, 0,01×10⁻², 0,1×10⁻³), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма записи — нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно) ( ). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0. Так как старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме 0) в нормализованном виде равен «1», то при записи мантиссы числа в эвм старший разряд можно не записывать. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 этого свойства нет.

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 1 бит знак + 52 бита, показатель — 1 бит знак + 10 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94×10⁻³²⁴ до 1.79×10³⁰⁸ (от 2⁻⁵² × 2⁻¹⁰²² до ~1 × 2¹⁰²⁴). Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел.

Приближенные числа.

Значащие цифры

Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные.

Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 ^.10² или 0,524 ^.10⁵. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчете значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.

Примеры:

	1 куб.фут = 0.0283 м3 - три верных значащих цифры
	1 дюйм = 2,5400 v пять верных значащих цифр.

Если число a имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность d_a T 1/(z*dⁿ-1), где z - первая значащая цифра числa a; d - основание системы счисления.

У числа a с относительной погрешностью d_a верны n значащих цифр, где n - наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству (1+Z)d_a T d^l-n.

Пример:

Если число a = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что d_a = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, так как (4+1)0,001 T 10^v2.

Округление

Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равнаd/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.

Действия над приближенными числами

Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Погрешность результата может быть выражена через погрешности первоначальных данных при помощи следующих теорем:

1. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

2. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых.

3. Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя.

4. Относительная погрешность n-ой степени приближенного числа в n раз больше относительной погрешности основания (как у целых, так и для дробных n).

2.

Основы теории погрешностей.

Мерой точности приближенных чисел является погрешность. Различают два вида погрешностей: абсолютную и относительную. Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычислений. Относительная погрешность – отношение точного значения к приближенному значению.

∆x=x-a (абсолютная).

бх= (относительная).

Максимальное значение абсолютной и относительной погрешности называют предельной абсолютной и предельной относительной погрешностью соответственно. На практике, если нет специальной договоренности, абсолютная погрешность числа считается равно1 единице последнего разряда.

Источники погрешности.

 Источники погрешностей:

1. Неточное изображение реальных процессов с помощью математики.

2. Приближенные значения некоторых величин, участвующих в решении задач (π=3,14154; e=2,7218).

3. Замена бесконечных процессов конечными.

4. Округление исходных данных, промежуточных и конечных результатов.

5. Результат действия над приближенными числами.

Математическая модель для определенного процесса может внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-либо важные черты рассматриваемой задачи. В частности мат. модель может прекрасно работать в одних условиях и быть неприемлемой в других. Поэтому важно учитывать её особенности. Исходные данные в задаче – основной источник погрешности. Вместе с погрешностями, вносимыми мат. моделью они определяют неустранимые погрешности, т.к. они не могут быть уменьшены ни до начала решения, ни в процессе. Численный метод так же является источником погрешности. Это связано с заменой интеграла интегральной суммой, усечением рядов, интерполированием табличных данных и т.д. При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округлений в связи с ограниченностью разрядной сетки.

Уменьшение погрешности.

Как правило, погрешность численного метода регулируема, т.е. теоретически она может быть уменьшена путём изменения некоторого параметра (шага интегрирования, числа члена усеченного ряда и т.д.). Для уменьшения погрешности округлений в связи с ограниченностью разрядной сетки можно использовать систему с более расширенной разрядной сеткой.

3.

Числа с плавающей точкой (запятой).

Так как в некоторых, преимущественно англоязычных, странах при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка». Так как в России целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия используется термин «плавающая запятая».

 Вычислительный эксперимент — метод изучения устройств или физических процессов с помощью математического моделирования. Он предполагает, что вслед за построением математической модели проводится ее численное исследование, позволяющее «проиграть» поведение исследуемого объекта в различных условиях или в различных модификациях.

Вычислительный эксперимент позволяет заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ. Он позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство.

В прикладных задачах и при применении точных методов решения, и при применении численных методов решения результаты вычислений носят приближенный характер. Важно только добиться того, чтобы ошибки укладывались в рамки требуемой точности.

Для большинства задач, встречающихся на практике, точные методы решения или неизвестны, или дают очень громоздкие формулы. Однако, они не всегда являются необходимыми. Прикладную задачу можно считать практически решенной, если мы сумеем ее решить с нужной степенью точности.

Понятия устойчивости, корректности и сходимости численного метода.

Рассмотрим погрешности исходных данных. Поскольку это так называемые неустранимые погрешности и вычислитель не может с ними бороться, то нужно хотя бы иметь представление об их влиянии на точность окончательных результатов. Конечно, мы вправе надеяться на то, что погрешность результатов имеет порядок погрешности исходных данных. Всегда ли это так? К сожалению, нет. Некоторые задачи весьма чувствительны к неточностям в исходных данных. Эта чувствительность характеризуется так называемой устойчивостью. 

Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины x находится значение искомой величины y. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность x, то решение имеет погрешность y. Задача называется устойчивой по исходному параметру x, если решение y непрерывно от него зависит, т. е. малое приращение исходной величины x приводит к малому приращению искомой величины y. Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов.  Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату. О подобных неустойчивых задачах также говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.

  Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.  Если задача поставлена некорректно, то применять для ее решения численные методы, как правило, нецелесообразно, поскольку возникающие в расчетах погрешности округлений будут сильно возрастать в ходе вычислений, что приведет к значительному искажению результатов. 

Вместе с тем отметим, что в настоящее время развиты методы решения некоторых некорректных задач. Это в основном так называемые методы регуляризации. Они основываются на замене исходной задачи корректно поставленной задачей. Последняя содержит некоторый параметр, при стремлении которого к нулю решение этой задачи переходит в решение исходной задачи. 

Иногда при решении корректно поставленной задачи может оказаться неустойчивым метод ее решения. Численный алгоритм (метод) называется корректным в случае существования и единственности численного решения при любых значениях исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно погрешностей исходных данных.  При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Она означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению. Строгие определения разных оценок близости могут быть даны лишь с привлечением аппарата функционального анализа. Ограничимся некоторыми понятиями сходимости, необходимыми для понимания последующего материала. 

Один из подходов к понятию сходимости используется в методах дискретизации. Эти методы заключаются в замене задачи с непрерывными параметрами на задачу, в которой значения функции вычисляются в фиксированных точках. Это относится, в частности, к численному интегрированию, решению дифференциальных уравнений и т. п. Здесь под сходимостью метода понимается стремление значений решения дискретной модели задачи к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации (например, шага интегрирования). 

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.

4.

Отделение корней.

Процесс определения интервала изоляции [a,b], содержащего только один из корней уравнения, называется отделением этого корня.

Рассмотрим графический метод отделения корней. Отделение корней уравнения f(x)=0 графическим методом начинают с построения графика функции y=f(x). Абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс и есть корни уравнения. Иногда построить график функции y=f(x) достаточно сложно. Тогда уравнение f(x)=0 преобразовывают к виду f₁(x)=f₂(x) так, чтобы графики функций f₁(x) и f₂(x) было легче построить. Абсциссы точек пересечения этих графиков и есть корни уравнения.

При графическом отделении корней уравнения результат зависит от точности построения графиков. Поэтому используем аналитический численный метод отделения корней, основанный на следующем факте: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], принимает на концах этого отрезка значения противоположных знаков, а производная f'(x) на интервале (a;b) сохраняет постоянный знак, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x)=0. Этот критерий успешно применяется для уравнений f(x)=0, для которых знак производной определяется несложно.

Пример. Рассмотрим уравнение x³-3x-0,4=0 и отрезок [-2;-1]. Функция f(x)=x³-3x-0,4 непрерывна на данном отрезке. На концах отрезка функция принимает значения противоположных знаков: f(-2)= -2,4 и f(-1)=1,6. Очевидно, что для всех    производная f'(x)>0, так как f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1). Следовательно, на интервале (-2;-1) находится корень уравнения и он единственный. Аналогично можно убедиться в том, что внутри отрезков [-1;0], [1;2] находится также по одному корню.

Процесс определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений состоит из 2 этапов:

1. отделение корней, - т.е. определение интервалов изоляции [a,b], внутри которого лежит каждый корень уравнения;

2. уточнение корней, - т.е. сужение интервала [a,b] до величины равной заданной степени точности .

5. Метод половинного деления

Дано нелинейное уравнение: f(x)=0.

(4.1)

Найти корень уравнения, принадлежащий интервалу [a,b], с заданной точностью ξ.

Для уточнения корня методом половинного деления последовательно осуществляем следующие операции:

1. Делим интервал пополам:

t – координаты середины отрезка [a,b]

2. В качестве нового интервала изоляции принимаем ту половину интервала, на концах которого функция имеет разные знаки 

Для этого:

a) Вычисляем значение функции f(x) в точках a и t.

b) Проверяем: если f(a)f(t) < 0, то корень находится в левой половине интервала [a,b] (Рисунок а). Тогда отбрасываем правую половину интервала и делаем переприсвоение b=t.

c) Если f(a)f(t) < 0 не выполняется, то корень находится в правой половине интервала [a,b] (Рисунок б). Тогда отбрасываем левую половину и делаем переприсвоение a=t. В обоих случаях мы получим новый интервал [a,b] в 2 раза меньший предыдущего.

3. Процесс, начиная с пункта 1, циклически повторяем до тех пор, пока длина интервала [a,b] не станет равной либо меньшей заданной точности, т.е.

|b-a|≤ ξ

Схема алгоритма уточнения корней по методу половинного деления:

Оценка погрешности: После n делений, очевидно, что погрешность можно оценить следующим образом: , так как она при каждом последующем делении уменьшается на 2, то  , поэтому α=1, а c=0,5 (скорость сходимости), где ξ – точное значение функции.

6. Метод хорд

Метод основан на замене функции f(x) на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью Х дает приближение корня.

При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

а) при фиксированном левом конце хорд, т.е. z=a, тогда начальная точка х₀=b (рис. 4.10а);

б) при фиксированном правом конце хорд, т.е. z=b, тогда начальная точка х₀=a (рис. 4.10б);

Рис. 4.10. 

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

для случая а)

(4.11)

для случая б)

(4.12)

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие

(4.13)

Метод обеспечивает быструю сходимость, если f(z)f"(z) > 0, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала [a,b], где знаки функции f(z) и ее кривизны f"(z) совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена на рис. 4.11.

Рис. 4.11.  Схема алгоритма уточнения корня методом хорд

7. Метод Ньютона (метод касательных)

Рассмотренные ранее методы решения нелинейных уравнений являются методами прямого поиска. В них для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала [a,b].

Метод Ньютона относится к градиентным методам, в которых для нахождения корня используется значение производной.

Дано нелинейное уравнение:

f(x)=0

Найти корень на интервале [a,b] с точностью  .

Метод Ньютона основан на замене исходной функции f(x), на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции. Пересечение касательной с осью Х дает приближение корня (Рис. 4.8).

Выберем начальную точку x₀=b (конец интервала изоляции). Находим значение функции в этой точке и проводим к ней касательную, пересечение которой с осью Х дает нам первое приближение корня x₁.

Рис. 4.8. 

x₁ = x₀ – h₀,

где

Поэтому

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой

(4.6)

Процесс поиска продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие:

(4.7)

Упростим условие (4.7), исходя из (4.6). Получим:

(4.8)

Метод обеспечивает быструю сходимость, если выполняется условие:

(4.9)

т.е. первую касательную рекомендуется проводить в той точке интервала [a,b], где знаки функции f(x₀) и ее кривизны f"(x₀) совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня метод Ньютона приведена на рис. 4.9

Рис. 4.9.  Схема алгоритма уточнения корня методом Ньютона