- •Нелинейные системы управления
- •Типовые нелинейности
- •Исследование переходных процессов в нелинейных системах
- •Исследование переходных процессов в нелинейных системах по фазовым портретам
- •Исследование колебательных процессов по фазовым траекториям
- •Метод точечных преобразований
- •Оценка устойчивости колебаний
- •Устойчивость замкнутых нелинейных систем
- •Синтез нелинейных систем
Оценка устойчивости колебаний
Im
Re
-1/J(A)
WЛ(jω)
Критерий устойчивости сформулирован Гольдфарбом на основании критерия Найквиста следующими рассуждениями:
Рассматривается линеаризованная система с комплексной частотной характеристикой
Если характеристика проходит через точку , то характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни, и в замкнутой системе существуют незатухающие колебания (например, консервативное звено).
Если увеличение амплитуды колебаний на
,
где - амплитуда, при которой характеристика проходит через точку
приводит к уменьшению модуля комплексной частотной характеристики, т.е. устойчивости замкнутой системы и переходу мнимых корней в левую полуплоскость, то появление множителя перед гармонической составляющей уменьшит амплитуду колебаний. Система вновь вернется на границу устойчивости с незатухающими колебаниями. Если при увеличении на , модуль КЧХ увеличится, система станет неустойчивой, мнимые корни перейдут в правую полуплоскость, амплитуда колебаний начнет возрастать и вернется к предыдущему значению .
В системе, обладающей такими свойствами, будут возникать незатухающие автоколебания.
Если – устойчивые,
Если – неустойчивые.
Im
Система устойчива
WЛ(jω) Re
Критерий Гольдфарба
Если увеличение значения A, соответствующего некоторому корню уравнения приводит к выходу кривой из области , то это решение соответствует устойчивым автоколебаниям.
Метод гармонического баланса
Этот метод также используется для приближенной оценки параметров автоколебаний в замкнутой нелинейной системе.
Он основывается на следующих соображениях:
-
Если замкнутую систему условно разорвать на входе нелинейного объекта и подать на вход гармонический сигнал , то в случае, если сигнал, прошедший через разомкнутую систему, сохранит амплитуду и фазу (при положительной обратной связи) или сохранит амплитуду, а фазу изменит на (при отрицательной обратной связи), то в замкнутой системе будут возникать автоколебания.
,
где , - коэффициенты 1-й гармоники ряда Фурье,
- комплексная характеристика нелинейного звена.
Из условия баланса :