- •Нелинейные системы управления
- •Типовые нелинейности
- •Исследование переходных процессов в нелинейных системах
- •Исследование переходных процессов в нелинейных системах по фазовым портретам
- •Исследование колебательных процессов по фазовым траекториям
- •Метод точечных преобразований
- •Оценка устойчивости колебаний
- •Устойчивость замкнутых нелинейных систем
- •Синтез нелинейных систем
Исследование колебательных процессов по фазовым траекториям
Колебания, возникающие в нелинейных системах, называются автоколебаниями.
В отличие от линейных систем характер колебательных процессов в нелинейных системах может отличаться от гармонического, причем амплитуда колебаний определяется параметрами звеньев, а не начальными условиями, как в линейных системах.
Фазовый портрет, соответствующий автоколебательному процессу, содержит замкнутую траекторию, или так называемый предельный цикл.
z
y
Если все траектории, начинающиеся внутри и снаружи предельного цикла, сходятся к нему, то такой предельный цикл называется устойчивым, и ему будут соответствовать устойчивые автоколебания, причем, если колебания возникают при любых начальных условиях, система называется автоколебательной с мягким возбуждением.
Если же необходимы начальные отклонения у или z больше некоторой величины, то это система с жестким возбуждением.
Системе с жестким возбуждением соответствует фазовый портрет с 2-мя предельными циклами, внутренний – неустойчивый.
z
y
Метод точечных преобразований
Чтобы не строить полностью фазовую траекторию, поступают следующим образом: задав начальные условия, например, при , по уравнению фазовой траектории определяют координаты в точке следующего пересечения фазовой траектории с действительной полуосью, на которой находится точка а.
z
b a y
Если , причем , то амплитуда колебаний уменьшается, процесс затухает.
Если , имеется предельный цикл, амплитуда постоянна.
Если , то колебательный процесс расходится, амплитуда возрастает.
Е сли есть возможность, получают зависимость .
b
b1
b2
a2 a1 a3 a
Для такого характера если , то процесс будет сходиться к 0.
Если , то колебательный процесс будет сходиться к , и 1-й предельный цикл будет неустойчивым, а 2-й – устойчивым.
Приближенные методы исследования автоколебаний
Метод гармонической линеаризации.
Рассмотрим на примере конкретной системы
-
Предположим, что на вход нелинейного звена поступает гармонический сигнал .
Нелинейность имеет вид:
Q
a
-b b х
-a
Рис.1
На выходе будет:
Q u
b
t1 t2 T t3 t
ψ1 π ψ2 2π ψ3 ψ
-b
-Q
Как видно, на выходе нелинейного звена получились прямоугольные 2-полярные колебания с периодом, равным Т.
Такие колебания, очевидно, можно представить с помощью ряда Фурье:
,
Где
Если линейная часть является инерционной системой с убывающей амплитудно-частотной характеристикой, то высшие гармоники сглаживаются линейной частью (имеем фильтр, т.к. убывающая амплитудная характеристика соответствует фильтру высоких частот). В этом случае в качестве выхода нелинейного звена можно рассматривать только первую гармонику, т.к. остальные все равно будут сглажены линейной частью.
Тогда .
В связи с тем, что вид колебаний на выходе нелинейного звена зависит от амплитуды входного колебания, коэффициенты , определяются амплитудой входного сигнала.
Введем новые коэффициенты:
, .
,
где ,
,
,
,
.
Имеем некоторую характеристику нелинейного звена , которая является аналогом частотной характеристики линейного звена, поскольку она изменяет амплитуду и фазу входного гармонического сигнала, не изменяя частоты. Но зависит эта характеристика не от частоты колебаний, а от амплитуды.
Фактически нелинейная система была сведена к линейной (линеаризована), и характеристика нелинейного звена равна .
Как известно, в замкнутой линейной системе возникают колебания в случае, когда комплексная частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку (при устойчивой линейной части), т.е.:
Если это комплексное уравнение имеет действительные корни , то в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания.
Решают уравнение либо численно, сведя его к 2-м скалярным уравнениям:
,
либо графически, представив в виде , называемом уравнением Гольдфарба:
Im
Re
WЛ(jω) -1/J(A)
Точки пересечения графиков дают корни уравнения A и ω.
- эквивалентная частотная характеристика (эквивалентная передаточная функция) получается для конкретной статической характеристики нелинейности (см. рис.1) и выхода нелинейного звена u(t) (рис.2) из коэффициентов ряда Фурье следующим путем:
Чтобы упростить интеграл, рассмотрим интервал . Тогда
Разбивая интеграл на участки :
Тогда
.
Как видно, .
Определив коэффициенты ряда Фурье, необходимо найти значение уравнения:
.
, т.е. определить значения , которые преобразуют уравнение в тождество, для чего уравнение можно разделить на скалярные:
,
и найти все решения.