Нелинейные системы управления

Подавляющее большинство элементов систем являются нелинейными. Так, для датчика температуры (термометра сопротивления) зависимость сопротивления от температуры нелинейна, для исполнительного механизма зависимость изменения расхода жидкости через клапан от входного воздействия , как правило, нелинейна (расход ограничен некоторой максимальной величиной, определяемой диаметром проходного сечения и разностью давления на клапан). Объекты управления также нелинейны.

При определенных условиях возможна линеаризация элементов за счет малых изменений входных воздействий.

Но в ряде случаев элементы системы управления являются существенно нелинейными( например, релейные, импульсные), они могут вводиться в систему для достижения необходимых показателей качества. Анализ и синтез таких систем необходимо выполнять с учетом нелинейности.

При составлении математического описания нелинейные элементы представляют в виде соединения линейного и безинерционного звеньев. Нелинейные звенья описывают алгебраическими уравнениями.

Типовые нелинейности

Характеристики нелинейных звеньев являются статическими и имеют следующий вид:

U

X

Диодная характеристика

З вено насыщения

U

+a -a, x≤-b1

X U = kx, -b1<x<b1

-b1 b1 a, x≥b1

-a a = kb1

Гистерезисные звенья

U

X

Релейные элементы

И деальное однополярное реле

U

X

И деальное двухполярное реле

U

X

Двухполярное реле с зоной нечувствительности

U

-a, x≤-b

X U = U_пред, -b<x<b

a, x≥b

Реле с 2-мя устойчивыми состояниями (2-мя зонами нечувствительности)

U

X

Исследование переходных процессов в нелинейных системах

y

e

g

W_рег(р)

W_o(p)

u

x

-

При анализе нелинейных систем приходится использовать специальные методы для решения дифференциальных уравнений с нелинейностями или решать системы уравнений численным методом. В последнем случае наличие нелинейности практически не создает проблем. Рассмотрим пример.

Пусть , ,

Нелинейное звено со статической характеристикой

-a, x≤-b

(x) = 0, -b<x<b

a, x≥b

представляет собой трехпозиционное реле

U

a

-b

b X

-a

1. Численные методы

Запишем систему уравнений по передаточным функциям звеньев замкнутой системы

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Для создания программы необходимо расписать дифференциальные уравнения в конечных разностях, разместив их в соответствующем порядке, выразить значения переменных со старшими индексами через переменные с меньшими индексами и другие переменные, задать начальные значения переменных и в цикле осуществить вычисления переменных со старшими индексами через другие.

9. 

10. 

11. -a, x≤-b

= 0, -b<x<b

a, x≥b

12. 

13. 

Начальные условия:

2. Метод припасовывания граничных условий

Чтобы построить переходный процесс для нелинейности типа релейного звена, необходимо интегрировать дифференциальное уравнение на интервалах постоянства выхода нелинейного звена, причем начальными условиями каждого интервала (за исключением 1-го) являются конечные значения предыдущего интервала.

Начиная с 8-го уравнения для начального момента времени t=0 и заданных начальных условий определяют начальную ошибку.

Считаем, что изменилось в начальный момент времени скачкообразно: .

Тогда

14. (за счет дифференцирования ошибки, изменившейся скачкообразно)

15. 

Т.о. управляющее воздействие на 1-м интервале равно +a.

I. x>b, u=+a

C₁, C₂ находим из начальных условий: .

Определив константы , , получим решение уравнения:

y

g₀

t

x_диф

e x_проп

Как видно, функция , убывая, становится отрицательной, и когда она пересекает линию +b, управляющее воздействие на выходе нелинейного звена также становится равным нулю.

II. -b<x<b, u=0.

На втором интервале управление нулевое.

Для нахождения , воспользуемся условием совпадения значения функций и производных на границе 1-го и 2-го интервала:

– момент времени переключения реле, когда

О пределив постоянные , , продолжаем построение решения:

y

g₀

b

-b

t1 t

x_диф

e x_проп

Если , то с течением времени интегральная составляющая ошибки будет убывать, дифференциальная составляющая является отрицательной, и пропорциональная также отрицательна. За счет уменьшения интегральной составляющей переменная х в момент времени t₂ станет x<-b, и произойдет переключение реле. На вход линейного звена будет подано управление –а.

III. x<-b, u=-a.

;

;

;

Как видно, получение решения и исследование переходных процессов аналитическим методом достаточно сложно даже в случае кусочно-постоянных нелинейностей.