Гармонические колебания и их свойства (механические). Сложение гармонических колебаний. Математический и физический маятники. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро­магнитные и др. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колеба­ния величины s описываются уравнением типа

(140.1)

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, 0 — круговая (циклическая) частота,  — начальная фаза колебания в мо­мент времени t=0, (0t+) — фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повто­ряются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2, т. е.

откуда

(140.2)

Величина, обратная периоду колебаний,

(140.3)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний.

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол , то в соот­ветствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

(142.4)

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

(142.8)

где l — длина маятника.

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Tax как векторы A1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью 0, то разность фаз (2—1) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При значение рез практически совпадает с собственной частотой 0 колебательной системы.

Электростатика. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Характеристики электростатического поля (напряженность, потенциал). Силовые линии поля. Поток вектора напряженности. Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя. Теорема О. -Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы к расчету равномерно заряженной бесконечной плоскости. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков. Сегнетоэлектрики. Конденсаторы. Энергия электростатического поля.

Несмотря на огромное разнообразие веществ в природе, существует только два типа электрических зарядов: заряды, подобные возникающим на стекле, потертом о кожу (их назвали положительными), и заряды, подобные возникающим на эбоните, потертом о мех (их назвали отрицательными); одноименные заряды друг от друга отталкиваются, разноименные - притягиваются.

Опытным путем (1910-1914) американский физик Р. Милликен (1868-1953) показал, что электрический заряд дискретен, т.е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда e (e=1,6*10^-19 Кл). Электрон (m_e=9,11*10^-31 кг) и протон (m_p=1,67*10^-27 кг) являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.

Из обобщения опытных данных был установлен фундаментальный закон природы, экспериментально подтвержденный в 1843 г. английским физиком М. Фарадеем (1791-1867), - закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.

Электрический заряд - величина релятивистски инвариантная, т.е. не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется этот заряд или покоится.

Закон Кулона. Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов установлен в 1785 г. Ш. Кулоном с помощью крутильных весов, подобных тем, которые использовались Г. Кавендишем для определения гравитационной постоянной (ранее этот закон был открыт Г. Кавендишем, однако его работа оставалась неизвестной более 100 лет). Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Понятие точечного заряда как и материальной точки является физической абстракцией.

Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q₁ и Q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т.е. является центральной, и соответствует притяжению (F<0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F>0) в случае одноименных зарядов. Эта сила называется кулоновской силой. В векторной форме закон Кулона имеет вид:

где F₁₂ - сила, действующая на заряд Q₁ со стороны заряда Q₂, r₁₂ - радиус-вектор, соединяющий заряд Q₂ с зарядом Q₁, r=|r₁₂|. На заряд Q₂ со стороны заряда Q₁ действует сила F₂₁=-F₁₂.

В СИ коэффициент пропорциональности равен

Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде

Величина ε₀ называется электрической постоянной; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна

ε₀=8,85*10^-12 Кл²/(Н*м²), или ε₀=8,85*10^-12 Ф/м,

где фарад (Ф) - единица электрической емкости. Тогда

1/(4πε₀ )=9*10⁹ м/Ф.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

Как следует из формул, напряженность поля точечного заряда в вакууме

Направление вектора E совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор E направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор E направлен к заряду.

Единица напряженности электростатического поля - ньютон на кулон (Н/Кл); 1 Н/Кл - напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл=1 В/м, где В (вольт) - единица потенциала электрического поля.

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора E. Линиям напряженности приписывается направление совпадающее с направлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются.

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой: число линий поверхности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярно линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора E. Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол α с вектором E, равно EdScosα=E_ndS, где E_n - проекция вектора E на нормаль n к площадке dS. Величина

называется потоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь dS=dS, n - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля - 1 В*м.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора E сквозь эту поверхность

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора E является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля E, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области охватываемой поверхностью.

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд Q₀, равна векторной сумме сил F_i, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q_i

F=Q₀E и F_i=Q₀E_i, где E - напряженность результирующего поля, а E_i - напряженность поля, создаваемого зарядом Q_i. Подставляя последние выражения в уравнение, получаем

Формула выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность E результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l. Вектор

p=|Q|l

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q| на плечо l, называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом.

Согласно принципу суперпозиции, напряженность E поля диполя в произвольной точке

E=E₊+E_-

где E₊ и E_- - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.

Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А. Напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна

E_A=E₊-E_-

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через r, на основании формулы для вакуума можно записать:

Согласно определению диполя, l/2<<r, поэтому

Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины, в точке В. Точка В равноудалена от зарядов, поэтому

где r' - расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор E_B, получим

откуда

Вектор E_B имеет направление, противоположное вектору электрического момента диполя (вектор p направлен от отрицательного заряда к положительному).

Задачу вычисления напряженности поля системы электрических зарядов, используя помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно сильно облегчить, если применять открытую немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) теорему, которая определяет поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Из определения потока вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность, поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, которая охватывает точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 1), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности произвольной формы. Действительно, если заключить сферу (рис. 1) в произвольную замкнутую поверхность, то каждая линия напряженности, которая пронизывает сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

В случае, если замкнутая поверхность любой формы охватывает заряд (рис. 2), то при пересечении любой линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. При вычислении потока нечетное число пересечений в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток полагается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, которые входят в поверхность.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, которые входят в поверхность, равно числу линий напряженности, которые выходят из нее.

Формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0. Эта теорема получена математически для векторного поля произвольной природы русским математиком М.В.Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К. Гауссом.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью ρ=dQ/dV, которая различна в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, которая охватывает некоторый объем V,

Используя формулу, теорему Гаусса можно записать так:

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью +σ (σ=dQ/dS - заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны линиям напряженности (cosα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания E_n совпадает с E), т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σS. Согласно теореме Гаусса, 2ES= σS/ε₀, откуда

Из формулы вытекает, что E не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскостью однородно.

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки I в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд Q₀, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

Так как dlcosα=dr, то

Работа при перемещении заряда Q₀ из точки 1 в точку 2

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными.

Из формулы следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Edl=E_idl, где E_i=cosα - проекция вектора E на направление элементарного перемещения. Тогда формулу можно записать в виде

Данный интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора E следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно положительных и отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Работа по перемещению единичного точечного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси x при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x­₂-x₁=dx, равна E_xdx. Та же работа равна ϕ₁- ϕ₂=-d ϕ. Приравняв оба выражения, можем записать

E_x=

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по x. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор E:

где i, j, k - единичные векторы координатных осей x,y,z.

Из определения градиента следует, что

т.е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал ϕ имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал ϕ=

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т.е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор E всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы заря­дов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверх­ностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас­положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом — впадину (б).

Диэлектриками называются вещества, которые в обычных условиях практически не проводят электрический ток, их удельное сопротивление в 10¹⁰-10¹⁵ раз больше, чем у металлов. Согласно представлениям классической физики, в диэлектриках, в отличие от проводников, нет свободных носителей заряда, которые могли бы под действием электрического поля создавать ток проводимости.

К диэлектрикам относятся все газы; некоторые жидкости (дистиллированная вода, масла, бензол); твердые тела (стекло, фарфор, слюда). Термины "диэлектрик" и "диэлектрическая постоянная" были введены в науку в 1837 г. M. Фарадеем.

Диэлектрики, как и любые вещества, состоят из атомов и молекул. В целом молекулы нейтральны, тем не менее, они взаимодействуют с электрическим полем. Например, в случае, когда симметрия молекулы отлична от сферической, ее можно представить в виде электрического диполя. Электрический дипольный момент молекулы p_i=ql, где q - суммарный заряд ядер или электронов; l - вектор, представляющий собой плечо эквивалентного диполя.

Молекулы, обладающие электрическим дипольным моментом, называют полярными. Полярным диэлектриком является вода; следующие вещества: CO; N2O; S2O; NH; HCl также имеют в своем составе полярные молекулы. В объеме вещества дипольные моменты молекул распределены по разным направлениям хаотическим образом, так что их сумма равна нулю .

Молекулы, у которых положения эквивалентного положительного и эквивалентного отрицательного заряда совпадают и, следовательно, дипольный момент каждой молекулы равен нулю (p_i=0), называют неполярными. Такие вещества, как H­₂, N₂, O₂, CO₂ состоят из неполярных молекул.

Если диэлектрик внести в электрическое поле, то это поле и сам диэлектрик претерпевают существенные изменения.

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.

Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляризации:

электронная, или деформационная, поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит;

ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура;

ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных - против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

Сегнетоэлектрики - диэлектрики, обладающие в определенном интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью, т.е. поляризованностью в отсутствие внешнего электрического поля.

-NaKC₄H₄O₆*4H₂O - сегнетова соль

-BaTiO_3­ - титанат бария

При отсутствии внешнего элемента поля сегнетоэлектрик представляет собой как бы мозаику из доменов-областей с различными направлениями поляризованности.

Точка Кюри - температура, выше которой необычные свойства сегнетоэлектрика исчезают и он становится обычным диэлектриком.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (ϕ₁- ϕ₂) между его обкладками:

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением - разностью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой - электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Параллельное соединение конденсаторов:

Последовательное соединение конденсаторов:

Энергия электростатического поля:

где V=Sd - объем конденсатора. Формула показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, - напряженность E.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

Это выражение справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение: P= .