§4.Кольцо классов вычетов по натуральному модулю.

1) (Z/(m),+)-группа (§2)

∀ a,b ∈Z/(m) a+b=b+a ( ⇒ Z/(m),+)-абелева группа

2) Введем на множестве Z/(m) операцию умножения классов следующим образом (Z/

(m),*)-группоид ∀ a,b ∈Z/(m) a*b=b*a «*»-бин.операция в Z/(m):

∀ a,b ∈Z/(m) ! ∃ с ∈Z/(m) с=a*b т. к. умножение классов вычетов сводится к умножению

числе a,b и число a*b при делении на m дает единственный остаток, то с ∈Z/(m) и

единственный. ( ⇒ Z/(m),*)-группоид

3) «*»-дистрибутивно относительно «+»:

слева: ∀ a,b,с ∈Z/(m) a*(b+c)=a*b+a*c

a*(b+c)=a*b+c=a*(b+c)=ab+ac=ab+ac=a*b+a*c.

Справа аналогично. (a+b)*c=a*c+b*c

4) ∀ a,b,с ∈Z/(m) (a*b)*c=a*(b*c) «*»-ассоциативно в ⇒ Z/(m)

5) ∀ a,b,с ∈Z/(m) a*b=b*a «*»-коммутативно в ⇒ Z/(m)

6) ∃ e ∈ Z/(m) ∀ а∈Z/(m) a*e=e*a=a e=1∈Z/(m)

a*1=1*a=a ⇒ е=1 -нейтральный элементы относительно «*» в Z/(m)

1),2),3) ( ⇒ Z/(m) ,+,*)-кольцо

4.5.6) ⇒ (Z/(m) ,+,*)- -акс1

Опр. Кольцо (Z/(m) ,+,*)-акс1 называется кольцом классов вычетов по mod m

§5.Классы смежности группы по подгруппе. Нормальный делитель

группы. Фактор группа

Опр. Пусть (G,*)-группа. Н ≤ G, x G. Мн-во х*Н={x*h/h H}- ∈ ∈ левый смежный класс группы

G по подгруппе Н.

Мн-во Н*х={h*х/h H}- ∈ правый смежный класс группы G по подгруппе Н. Элемент х-

представитель смежного класса.

Опр. х G x*H=H*x, то Н- ∀ ∈ нормальный делитель гр. G(нормальная подгруппа группы G)

H∆G -обозначение

Замечание: пусть G-группа Н≤G, x,y G∈

Будем говорить, что xLy x*H=y*H (x находится в отошении L c y) ⇔

Будем говорить, что xRy H*x=H*y (x находится в отошении R c y) ⇔

Можно показать, что:

1) ∀ ∈х G xLx (ревлексивность)

2) ∀ ∈ х,y G xLy y ⇒ Lx (симметричность)

3) ∀ ∈ х,y,z G xLy^yLz x ⇒ Lz (транзитивность)

Из условий 1),2),3) следует, что бинарное отношение L, заданное на множестве G является

отношением эквивалентности следовательно множество G разбивается на классы

эквивалентности. Роль этих классов выполняют левые смежные классы группы G по

подгруппе Н.

Аналогично можно доказать что бинарное отношение R порождает разбиение G на классы

эквивалентности, которыми являются правые смежные классы.

Таким образом у любой группы по ее подгруппе существует 2 разбиения: на левые классы

смежности и правые.

Д/З решить 1 вариант (фото в кпк)

Свойства смежных классов.

1. любой элемент смежного класса является его представителем

(G,*)-группа, H ≤G, x G, x*H-элем смежного класса а х*Н, x*H= H*х ∈ ⇒ ∀ ∈

2. а)x*H=y*H x'*y Н y'*x Н (свойство левых смежных классов) ⇔ ∈ ⇔ ∈

б)Н*х=Н*y x*y' Н y*x' Н (свойство правых смежных классов) ⇔ ∈ ⇔ ∈

3. смежные классы группы G по подргуппе Н состоят из одного же и того числа

элементов

Опр. Группа G-конечная, если она состоит из конечного числа элементов

Опр. Порядок конечной группы-число ее элементов.

Опр. Чило различных смежных классов группы G по подргуппе Н -индекс группы Н в

группе G.

Обозначение |G| или O(G) или Or(G)-порядок группы.

Индекс (G:H)или [G:H] или indG(H)-индекс группы Н в группе G

Теорема Лагранжа. Порядок любой конечной группы делится на порядок ее подгруппы

Доказательство. Пусть x G. ∈

а) рассмотрим класс e*H=H и x*H

по 3 свойству смежных классов Н и х*Н состоят из и того же числа элементов, значит |Н|=|

x*H|. Количество элементов в группе G=произведению количства элементов в группе Н на

число различных смежных классов. |G|=|H|*[G:H] |G| делится на |H|. ⇒

Теорема 5.1. Критерий нормального делителя группы.

Пусть (G,*)-группа. Н -непустое подмножество G.

H∆G x G h Н x'*h*x Н ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈

Доказательство.

Туда. x G h Н x*H=H*x левый и правый классы совпадают по определению ∀ ∈ ⇒ ∀ ∈

нормального делителя h,h'' Н x*h=h''*x |*x' справа ⇒ ∃ ∈

(x*h)*x'=(h''*x)*x'

x*h*x'=h''*(x*x')

x*h*x'=h''*e

x*h*x'=h'' x*h*x' Н ⇒ ∈

сюда

∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ ∈ ⇒ ∃ x G h Н x'*h*x Н h1∈Н

x'*h*x=h1 |*x слева

x*(x'*h*x)=x* h1

(x*x')*h*x=x* h1

h*x=x* h1 H*x-поднмножество x*H ⇒

2) x G h Н x'*h*x Н данное условие верно и для х': ∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ ∈ ⇒

(x')'*h*x' Н ∈

x*h*x' Н

∃h2∈Н x*h*x'=h2 |*x справа

(x*h*x')*x=h2*x

x*h=h2*x x*H -поднмножество H*x ⇒

1),2) x*H= H*x для х H ⇒ ∀ ⇒ ∆G

Опр. Пусть (G,*)-группа, H∆G

Обозначим через G/Н-множество всех смежных коассов группы G по подгруппе Н.

Так как Н нормальная подгруппа группы G, то для каждого элемента х G, левые и правые ∈

смежные классы совпадают. Для определенности будем рассматривать только левые смежные

классы G/Н={x*H}х G∈

так как классы смежности являются классами эквивалентности, а множество всех классов

эквивалентности называется фактор-множество, G/Н то фактор множества.

Введем на множестве G/Н операцию «умножение» смежных классов по следующему правилу

∀ ∈ х*Н, y*H G/Н (x*H)*(y*H)=(x*y)*H

1) (G/Н,*)-группоид

∀ ∈ х*Н, y*H G/Н !z*H G/ ∃ ∈ Н z*H=(x*H)*(y*H)

Так как «множение» классов сводится к умножению элементов группы G, то (x*y)*H G/ ∈ Н и

единственный *-бин.опеация в G| ⇒ H (G/ ⇒ Н,*)-группоид

2) (G/Н,*)-полугруппа

∀ ∈ х*Н, y*H,z*H G/Н ((x*H)*(y*H))*(z*H)=(x*H)*((y*H)*(z*H))

((x*H)*(y*H))*(z*H)=((x*y)*H)*(z*H)=((x*y)*z)*H=(x*(y*z))*H=(x*H)*((y*H)*H)=(x*H)*((y

*H)*(z*H)) «*»-ассоциативна бинарная G/ ⇒ Н операция (G/ ⇒ Н,*)-полугруппа

3) (G/Н,*)-моноид

∃ ∈Е G/Н x*H G/ ∀ ∈ Н

(x*H)*E=E*(x*H)=x*H

E=e*H=H G/ ∈ Н

(x*H)*(e*H)=(x*e)*H=x*H (1)

(e*H)*(x*H)=(e*x)*H=x*H (2)

(1),(2) (x*H)*(e*H)=(e*H)*(x*H)= x*H e*H=H -нейтр элемент относительно * в G/ ⇒ ⇒ Н ⇒

(G/Н,*)-моноид

4) х*Н G/ ∀ ∈ Н (х*Н)' G/ ∃ ∈ Н (x*H)*(x*H)'= (x*H)'*(x*H)=E=H

(x*H)'=x'*H∈G/Н

(x*H)*(x'*H)=(x*x')*H=e*H=H (1)

(x'*H)*(x*H)=(x*x')*H=e*H=H (2)

(1),(2) (x*H)*(x'*H)=(x'*H)*(x*H)=H x'*H-симметричный элемент для х*Н ⇒ ⇒

⇒ (G/Н,*)-группа.

Опр.Группа (G/Н,*) называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе Н (все,

что перед этим-надо выводить)