§3. Понятие кольца. Подкольцо. Критерий подкольца.

Пусть А непустое множество и на А заданы две бинарные операции, одну из которых будем

называть условно сложением (аддитивная операция), а другую-

умножением(мультипликативная). Если (А,+)-группоид, то (А,+) называется аддитивным

группоидом, (А,+)-моноид, то называется аддитивным моноидом, аналогично аддитивная

группа, аналогично относительно умножения-мультипликативные группоид, моноид,

полугруппа, группа.

Нейтральный элемент сложения называется нулем, а относительно умножения единицей.

Симметричный элемент называется противоположным относительно сложения, а

относительно умножения обратным.

Пусть на множестве А (непустом) заданы две бинарные операции типо «+» и типо «*». Тогда

(А,+,*) называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1. (А,+)-аддитивная абелева группа

2. (А,*)-группоид

3. ∀ ∈ a,b,c А a*(b+c)=a*b+a*c -дистрибутивность умножения относительно сложения

слева

Пусть (G,*)-группа. Если «*»-коммут.бин.операция на G, то (G,*) называется абелевой

группой.

Если (А,+,*)-кольцо и «*» ассоциативно на А, то (А,+,*)-ассоциативное кольцо.

Если «*» коммутативно на А, то (А,+,*)-коммутативное кольцо. Если в А относительно

умножения существует нейтральный элемент, то А называется кольцом с единицей.

Если умножение ассоциативно, коммутативно и относительно умножения в А существует

нейтраьный элемент, то (А,+,*)-ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей.

Обозначение акс 1.

Приемер: (Z,+,*),(Q,+,*),(R,+,*),(C,+,*)-акс 1.

Теорема 3.1. Пусть (A,+,*)-кольцо с единицей. Тогда 1) а А ф*0=0 2) a,b А (-a)b=-ab ∀ ∈ ∀ ∈

Доказательство:

1) рассмотрим элемент а+а*0=а*1+а*0=а(1+0)=а*1=а=а+0

а*0=0 по свойству групп (но только если в кольце есть единица)

2) рассмотрим элемент ab+(-a)b=(a+)-a))b=0*b=0, (-a)b=-ab (по определению

симметричного элемента)

Подкольцо (В,+,*) кольца А, если само является кольцом относительно *,+ и 1А В (единица ∈

кольца А должна лежать в В).

Теорема 3.2. Критерий подкольца. Пусть (А,+,*)-акс1, В непустое подмножество А, (В+,*)-

подкольцо кольца (А,+,*) x,y B x-y B, x*y B, 1 ⇔ ∀ ∈ ∈ ∈ А∈В.

Доказательство.

1. а) необх. В-подкольцо кольца А В п/мн-во А по определению подкольца. (В,+)- ⇒ ⇒

аддитивная абелева группа и подгруппа группы А по сложению. (В,+) ≤ (А,+)(по

опр.подгруппы) x,y B x+y B и -х В x-y В ⇒ ∀ ∈ ∈ ∈ ⇒ ∈

б) В-подкольцо кольца А (В,+,*)-акс1 «*»-бин.операция в В x,y B x*y B ⇒ ⇒ ⇒ ∀ ∈ ∈

в) 1А∈В (по опр.подк.)

2. дост. а)(В,+) ≤ (А,+) (по критерию подгруппы) (В,+)-группа. т. ⇒ к. «+» коммутативно

в А, В входит в А, то «+» коммутативно в В (В,+)-аддитивная абелева (1) ⇒

б) x,y B x*y B, но В входит в А, (А,*)-группоид (по усл) (В,*)-группоид (2) ∀ ∈ ∈ ⇒

т. к. «*» дистрибутивно отсносительно «+» в А, а В входит в А, то и в В.(3)

«*»в В ассоциативно и коммутативно (4)

(1),(2),(3),(4)-акс1. В подкольцо кольца А. ⇒

Примеры: (Z,+,*)-подкольцо к(Q,+,*), (Z,+,*)-подкольцо к(R,+,*), (Z,+,*)-подкольцо к(C,+,*),

(Q,+,*)-подкольцо к(R,+,*),(R,+,*)-подкольцо к(C,+,*)