Курманова елена николаевна

Элементы абстрактной и компьютерной алгебры

§ 1. Понятие группы, подгруппы. Критерий подгруппы

Опр.Пусть А и В-некоторые множества. Прямое произведение множеств А и В-множество, состоящее из всех

упорядоченных пар (a,b), таких что a A,b B. ∈ B

A*B={(a,b)/a A,b B}. Если А=В, то А*В=А ∈ ∈

2

-декартов квадрат множества А.

Опр. Пусть X и Y-некоторые множества, f-бинарное отношение от множества Х к множесту Y. Тогда f называется

отображением из X в Y, если для x X !y Y y=f(x). Если X=Y, то говорят, что f задано на множестве X. ∀ ∈ ∃ ∈

Опр. Пусть X-некоторое множество. Отображение *: X

x

X→X называется бинарной операцией, заданной на

множестве Х.

∀(a,b)X

x

X !c X c=a*b ∃ ∈

Пример. X=N, *=''-''

''-''-бин.операция N? с=a-b

при 2,5 не принадлежит N

Вычитание не является бинарной операцией на N.

Для любых 2-х натуральных чисел их сумма является натуральным числом и при том единственном.

Следовательно сложение является бинарной операцией на N.

Группоид-если на множестве М задана бинарная операция *, то говорят, что множество М относительно операции

* образует группоид.

Обозначение группоида: (М,*)-группоид.

Если (М,*)-группоид и для a,b,c M (a*b)*c=a*(b*c), то бин.отношение * называют ∀ ∈ ассоциативной.

Пример. Сложение ассоциативно, а вычитание нет.

Опр. Если (М,*)-группоид и -ассоциативной в М, то (М,*)-полгурппа.

Опр. Если -бинарная операция в М и e M x M x ∃ ∈ ∀ ∈ *e=e*x=x, то e-нейтральный элемент множества М

относительно операции *

Опр. Если (М,*)-полугруппа и в М существует нейтральный элемент относительно *, то (М,*)-моноид.

Например умножение-моноид, а сложение-нет..

Опр. Пусть (М,*)-группоид, рассм. a,a' M. Если a M a' M a*a'=a'*a=e, то a'-симметричный элемент для а, ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

относительно *, а-симметризуемый.

Множество Z содержит симметричные эелементы.

Опр. Если (М,*)-моноид и у всех элементов из М симметричные им элементы принадлежат М, то (М,*)-группа.

Пример: Z,Q,R,C-группы по сложению.

Простейшие свойства групп.

Пусть (G, *)-группа

1) ∀ ∈ ⇒ ⇒ g G (g')'=g док-во: т.к.g'-симметрично для g, то g*g'=g'*g=e g'*g=g*g'=e (g')'=g

2) ∀g1,g2,g3∈G g1*g2=g1*g3 g ⇒ 2=g3 доказательство g1'*(g1*g2)=g1'*(g1*g2) (g1'*g1)*g2=(g1*g1')*g3 e*g2=e*g3

g2=g3

3) ∀g1,g2,g3∈G (g1*g2)'=g2'*g1' д-во: доказательство (g1*g2)*(g2'*g1')=g1*(g2*(g2'*g1'))=

g1*((g2*g2')*g1')=g1'*(e*g1')=g1*g1'=e (1) и наоборот (g2'*g1')*(g1*g2)=((g2'*g1')*g1)*g2=

(g2*(g1'*g1))*g2=(g2'*e)*g2=g2'*g2=e (2)

(1),(2) (g ⇒ 1*g2)*(g2'*g1')=(g2'*g1')*(g2'*g1')=e (g ⇒ 1*g2)'=g2'*g1'

Теорема 1.1. Если (М,*)-группоид, e M-нейтральный элемент. То e-единственный. ∈

Доказательство: методом от противного.

Пусть е не единственный нейтральный элемент в М относительно операции *, т. е. e ∃ 1∈M, e1-нейтральный эл-т в

М, e1≠e.

т. к. е-нейтральный, то e1*e=e*e1= e1 (1)

т. к. e1-нейтральный, то e*e1=e1*e=e (2)

(1),(2) e ⇒ 1=e, что проиворечит предположению, что e1≠e

Следовательно наше предположение неверно и e-единственный нейтральный элемент в М относительно операции

*.

Теорема 1.2. Если (М,*)-моноид, a'-симметричный элемент для а во мн-ве М относительно операции *, то a'-

единственный.

Доказательство: методом от противного. Пусть a'' M, a''-симметричный эл-т для а относительно * и a''≠a'. ∃ ∈

т. к. a'-симметричный элемент для а, то а*a'=a'*а=е

т. к. a''-симметричный элемент для а, то а*a''=a''*а=е

т. к. е-нейтральный элемент, то a'*e=e*a'=a', a''*e=e*a''=a''

Рассмотрим a''=a''*e=a''*(a*a')=(a''*a)*a'=e*a'=a' a''=a', что противоречит a''≠a', следовательно наше предположение ⇒

не верно и a' единственный симметричный элемент для а.

Если (М,*)-группоид и ∀a,b M a*b=b*a, то бин.операция * называется ∈ коммутативной.

Если *,°-бин.операии на М и a,b,c M (a*b)°c=(a°c)*(b°c), то говорят, что «°» ∀ ∈ дистрибутивно операции * справа.

∀ ∈ a,b,c M a°(b*c)=(a°b)*(a°c), то говорят, что «°» дистрибутивна относительно * слева.

Если операция ° дистрибутивна относительно * слева и справа, то говорят, что операции ° дистрибутивна

относительно операции *.

Например: сложение и умножение ассоциативны и коммутативны на множествах N,Z,R,Q,C.

Сложение ассоциативно намножестве всех матриц размерности (mxn) Mmxn.

Пусть (G,*)-группа, H ≠ , H G. Если (H,*)-группа, то Н называется подгруппой группы G/ ∅ ⊂

Обозначение H≤(H,*)≤(G,*).

Теорема 1.3. (критерий подгруппы)

Пусть (G,*)-группа, H<> , H G. H ≤ G ∅ ⊂ ⇔

1. ∀ ∈ ∈ a,b Н a*b Н

2. ∀ ∈ ∈ а Н a' Н

Док-во:

⇒ Н ≤ G (Н,*)-группа ⇒ ⇒

⇒ ∀ ∈ ∈ *- бин поерация в Н, а Н а' Н, т. к. а'-симметричный эл-т для а.

а) a,b Н a*b Н 1) усл крит выполнено ⇒ ∀ ∈ ∈ ⇒

б) 2) усл.крит. Выполнено ⇒

a)⇐ a,b Н a*b Н, a*b -едвинственный в Н, то *-бинарная операция в G *-бин.операция в Н (Н,*)- ∀ ∈ ∈ ⇒ ⇒

группоид.

б) т. к. H G, то * -ассоц в Н (Н,*)-полугруппа ⊂ ⇒

в) 2) а Н а Н симм-ые эл-ты для всех эл-тов из Н. ⇒ ∀ ∈ ∈ ⇒

г) при b=a' a*a'=e Н (из 1 усл) ∈

а),б),в),г) (Н,*)-группа, а т. ⇒ к. Н ≠ , H G (по усл) H ≤ G ∅ ⊂ ⇒